Final 02/08/2016 (Análisis II)

Final de Graña-Larotonda-Minian. Duración: 3 horas.

Ejercicio 1

Sea $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ continua tal que $f(1,2)=(5,3)$, y $g:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ tal que $g$ tiene un máximo relativo en $(5,3)$.
Probar que la composición $gof$ tiene un máximo relativo en $(1,2)$.

Ejercicio 2

Sea $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$, $f\in C^{1}$ con un extremo en $(a,b)$. Demostrar que $\nabla f(a,b)=(0,0)$.

Ejercicio 3

Sea $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ definida como $f(x,y)=ln(x^{2}+y^{2})$ y $C=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:2\leq ||(x,y)||\leq 3,x\leq 0,y\geq 0\}$ calcular:

$\int _{C}||\nabla f(x,y)||^{2}dxdy$

(Sugerencia: usar coordenadas polares)

Ejercicio 4

Sea $f:K\rightarrow \mathbb {R}$, donde $K$ es compacto y $f$ continua, probar que $f$ está acotada y que alcanza un mínimo y un máximo en $K$.