Final 07/09/2016 (Álgebra I)

Ejercicio 1

Factorizar el polinomio

$f(x)=x^{6}+2x^{5}+4x^{4}+x^{2}+2x+4$

en $\mathbb {Q}$, $\mathbb {R}$ y $\mathbb {C}$, sabiendo que las raices octavas primitivas de 1 son raices de $f$.

Ejercicio 2

Sea $z\in G_{11},z\neq 1$. Hallar todos los $n\in \mathbb {N}$ tal que:

$z^{2^{n}}={\bar {z}}^{5}$

Ejercicio 3

Hallar todos los $x\in \mathbb {Z}$ que satisfacen simultaneamente las siguientes 3 condiciones

${\begin{cases}x\equiv 2(11)\\x\equiv 3(7)\\50\leq x\leq 80\end{cases}}$

Ejercicio 4

Sea $I=\{n\in \mathbb {N} :1\leq n\leq 16\}$ determinar cuantas funciones biyectivas $f:I\rightarrow I$ satisfacen:

$(\forall a\in I)f(a)\equiv a(8)$

Ejercicio 5

Probar que si $n\geq 4$ entonces:

$\displaystyle {2n \choose n}>n2^{n}$