Final 21/07/2015 (Análisis II)

Enunciar y demostrar Bolzano para $f:[a,b]\rightarrow (a,b)$
Probar que si $f$ es diferenciable, entonces $f$ es continua
Sea $f(x,y)=ln(1-x^{2}+y)$ $f(x,y)=ln(1-x^{2}+y)$
- Probar que es $C^{2}$ en una bola centrada en el origen y calcular el polinomio de Taylor de orden 2 se f centrado en $P=(0,0)$
- Calcular:
${\displaystyle \lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}{\frac {ln(1-x^{2}+y)-y+x^{2}+{\frac {y^{2}}{2}}}{x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle \lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}{\frac {ln(1-x^{2}+y)-y+x^{2}+{\frac {y^{2}}{2}}}{x^{2}+y^{2}}}}$
Sea $g:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ de clase $C^{1}$ . Se sabe que la función $f(x,y,z)=3x^{2}-y+2z$ restringida al dominio $D={(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:g(x,y)=x+z^{2}}$ tiene un extremo local en el punto $(1,2,3)$ . Calcular $\nabla (g(1,2))$ .

Anónimo