Final 22/02/2013 (Álgebra I)

Ejercicio 1

Un mazo de 50 cartas españolas, posee 10 cartas especiales que son los 8 y 9 de cada palo, más los dos comodines. Además de estas 10 cartas especiales, vienen las 40 cartas clásicas. Un fábrica de cartas decide empaquetar sus cartas poniendo las 40 cartas comunes ordenadas por número y palo (viniendo primero los oros, luego las copas, luego las espadas y por último los bastos) y colocando las otras 10 cartas especiales en cualquier orden, intercaladas entre las 40 cartas comunes. ¿De cuántas maneras puede venir el mazo?

Ejercicio 2

El objetivo de este ejercicio es demostrar el resultado conocido de la conmutatividad del producto de números naturales (con lo cual no se puede usar esta propiedad). Para ello definimos una función $p:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ dada por:

$p(m,n)=m$ si $n=1$

$p(m,n)=p(m,n-1)+m$ si $n\neq 1$

Probar que para todo par de naturales $(m,n)$ vale que:

$p(m,n)=p(n,m)$

Ejercicio 3

a) Encontrar un número primo p y un número primo q, tales que la ecuación $x^{2}+1\equiv 0(p)$ sea resoluble pero la ecuación $x^{2}+1\equiv 0(q)$ no tenga solución.

b) Encontrar un número natural m que sea producto de 3 primos, y además la ecuación $x^{2}+1\equiv 0(m)$ tenga exactamente 4 soluciones módulo m.

c) Encontrar un número natural m que sea producto de 3 primos, y además la ecuación $x^{2}+1\equiv 0(m)$ tenga exactamente 8 soluciones módulo m.

Ejercicio 4

Consideremos un polinomio cúbico $q(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$, donde $a,b,c\in \mathbb {C}$ y supongamos que q(x) tenga al menos dos raíces racionales.

a) Probar que si $a\in \mathbb {Q}$ entonces $q\in \mathbb {Q} [x]$ y todas sus raíces son racionales.

b) ¿Es cierto que si $c\in \mathbb {Q}$ entonces $q\in \mathbb {Q} [x]$ y todas sus raíces son racionales? (dar una demostración o un contraejemplo)

c) ¿Es cierto que si $b\in \mathbb {Q}$ entonces $q\in \mathbb {Q} [x]$ y todas sus raíces son racionales? (dar una demostración o un contraejemplo).

Ejercicio 5

Recordar que si n es un número natural, el n-ésimo número de Fermat se define como

$F_{n}=2^{2^{n}}+1$

Probar las siguientes afirmaciones:

a) El número $F_{n}$ es divisible por 5 si y solo si n = 1.

b) El número $F_{n}$ nunca es divisible por 7.

c) El número $F_{n}$ nunca es divisible por 11.