Final 22/12/2015 (Álgebra I)

Final de Javier Etcheverry Tiempo: 3,5 / 4 horas.

Ejercicio 1

Dada la sucesión:

$1^{3}=1$

$2^{3}=3+5$

$3^{3}=7+9+11$

$4^{3}=13+15+17+19$

Dar la fórmula general, y probar que es válida.

Ejercicio 2

Hallar el resto de dividir por $p$ a $\sum \limits _{i=1}^{3p+1}i^{p(p-1)}$.

Ejercicio 3

Sabiendo que $r_{9}(4x)=2$, $r_{14}(3x)=5$ y $r_{20}(3x)=1$, hallar el resto de dividir a $x$ por 2520.

Ejercicio 4

Dada la relación definida en $R[X]$ definida por: $pRq\leftrightarrow$ {el resto de dividir a $p$ por $X^{2}+1$ es igual al resto de dividir a $q$ por $X^{2}+1$}.
i)Probar que $R$ es relación de equivalencia. ¿Cómo son sus clases de equivalencia?
ii)Dados p,q $\in R[X]$, y sabiendo que el resto de dvidir a $p$ por $X^{2}+1$ es $aX+b$, y el resto de dvidir a $q$ por $X^{2}+1$ es $cX+d$.Hallar la clase de equivalencia de $p+q$ y la de $pq$. ¿A qué se asemejan?