Final 26/07/2016 (Probabilidad y Estadística)

Resuelva solamente 6 ejercicios, 3 de cada parte. Se aprueba con 4 ejercicios bien hechos, 2 de los cuales deben ser de cada parte. Indique cuáles eligió. Justifique todas sus respuestas.

Primera parte

Ejercicio 1

1. Enunciar y demostrar la Fórmula de Bayes.
2. Una enfermedad ataca al 2% de la población. Una empresa farmacéutica publicita un nuevo test para detectar la enfermedad, con una tasa de falsos negativos del 3% y una tasa de falsos positivos del 1%. Calcular la probabilidad de realmente estar enfermo, cuando el test dio positivo.

Ejercicio 2

1. Sean $X$ e $Y$ variables aleatorias continuas e independientes, con densidades $f_{X}$ y $f_{Y}$, respectivamente. Hallar la densidad de $X+Y$.
2. Identificar la distribución de $X+Y$, si $X$ e $Y$ son variables exponenciales independientes de igual parámetro $\lambda$.

Ejercicio 3

1. Definir independencia para una familia $(A_{i},i\in I)$, donde $A_{i}$ son eventos e $I$ es un conjunto cualquiera.
2. Dar un ejemplo de tres eventos independientes dos a dos, pero no independientes.

Ejercicio 4

Sean $X$ e $Y$ i.i.d. continuas con distribución común $F$ y densidad $f$.

1. Probar que $V=\max\{X,Y\}$ tiene distribución $\mathbb {P} (V\leq x)=F(x)^{2}$, y densidad $f_{V}(x)=2f(x)F(x)$.
2. Hallar la densidad de $U=\min\{X,Y\}$.

Ejercicio 5

El contenido de cada botella de una bebida sigue una distribución $N(600,400)$, medido en ml. Los contenidos de distintas botellas son variables independientes. Estimar $P(|{\bar {X}}-600|>10)$, donde ${\bar {X}}$ es el contenido promedio de 5000 botellas. Justificar.

Segunda parte

Ejercicio 1

1. Construir un intervalo de confianza de nivel $1-\alpha$, $0<\alpha <1$, para la media de la normal con varianza $\sigma ^{2}$ conocida.
2. A partir del intervalo hallado, construir un test de hipótesis de nivel $\alpha$ para $H_{0}:\mu =\mu _{0}$ vs. $H_{1}:\mu \neq \mu _{0}$, indicando el estadístico usado y la región de rechazo.

Ejercicio 2

Sean $\{X_{i}\}_{i\geq 1}$ variables aleatorias independientes con distribución Bernoulli($p$).

1. ¿Qué distribución tiene $\sum _{i=1}^{n}X_{i}$?
2. Hallar los estimadores de momentos y de máxima verosimilitud de $p$.
3. Decidir si los estimadores hallados en (b) son insesgados, o calcular su sesgo. Decidir si son consistentes. Justificar.

Ejercicio 3

1. Definir la función generadora de momentos $M_{t}(X)$ de una variable aleatoria $X$.
2. Calcular $M_{t}(X)$ si $X\sim exp(\lambda )$.
3. Enunciar y probar el Teorema Central del Límite. En caso de utilizar propiedades de la función generadora de momentos, enunciarlas.

Ejercicio 4

Supongamos que el número de goles que marca un equipo de fútbol está dado por un proceso de Poisson de tasa $\lambda$, con el tiempo medido en minutos. En una cierta fecha se enfrentan Independiente y Racing. Sean $\lambda _{I}$ y $\lambda _{R}$ las respectivas tasas de los procesos de Poisson, que suponemos independientes.

1. Calcular la probabilidad de que gane Independiente 2 a 1.
2. Ya ha terminado el primer tiempo. Si se sabe que Racing va ganando 2 a 0, ¿cuál es la probabilidad de que el primer gol haya ocurrido durante los primeros 15 minutos, y el segundo antes de los primeros 30 minutos?

Ejercicio 5

Sean $X_{1},...,X_{n}$ variables aleatorias independientes con media $E(X_{i})=0$ y varianza $V(X_{i})=1-{\frac {1}{3^{i}}}$.

1. Sea ${\bar {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$. Calcular $E({\bar {X}}_{n})$ y $V({\bar {X}}_{n})$.
2. Hallar el límite en probabilidad de ${\bar {X}}_{n}$ cuando $n\to \infty$.