Final 30/07/2013 (Álgebra I)

Ejercicio 1

Sea

$a_{i}=\left\{{\begin{matrix}1&i=1\\3&i=2\\{\frac {1}{2}}(a_{i-2}+a_{i-1})&i>2\end{matrix}}\right.$

Pruebe que

i) $a_{1}<a_{3}<a_{5}<...$ y $a_{2}>a_{4}>a_{6}>...$

ii) $a_{n}={\frac {7}{3}}-{\frac {4}{3}}\left({\frac {-1}{2}}\right)^{n-1}$ para todo $n\in \mathbb {N}$.

Ejercicio 2

Sean $A$ y $B$ conjuntos finitos de cardinal $n$ y $m$ respectivamente. Sean $x$ e $y$ dos elementos distintos de $A$. Calcular cuantas funciones $F:a\rightarrow b$ hay tales que $f(x)=f(y)$

Ejercicio 3

Pruebe que si el dígito de las unidades de un número entero $a$ es tres, entonces el dígito de las unidades de $a^{n}$ es 1, 3, 7 o 9, para cada número natural $n$. Diga cuándo se da cada uno de estos resultados.

Ejercicio 4

Determinar los $z\in \mathbb {C}$ tales que

$|z|={\frac {1}{|z|}}=|1-z|$.

Ejercicio 5

Sea $P\in \mathbb {R} [X]$. Supóngase que el resto de dividir $P$ por $X-1$ es $a$ y el resto de dividir $P$ por $X-2$ es $b$. ¿Cuál es el resto de dividir $P$ por $(X-1)(X-2)$?