Intervalos de confianza (Probabilidades y Estadística)

Luego de estimadores, IC es la herramienta utilizada para estudiar valores de cierta distribución, i.e. parámetros.

Se dice que un IC es un intervalo tq' la probabilidad que este contenga al parámetro a estimar sea $(1-\alpha )$.

Pasos a seguir para hallar un Intervalo de Confianza

• Hallar un pivote Z tal que sea:

1. Una distribución conocida
2. Función del parámetro a estimar

• Hallar a y b, funciones que van de la muestra aleatoria a un numero real tales que:

$P(a<Z<b)=1-\alpha$

• Despejar a y b

Intervalos de confianza para $N(\mu ,\theta ^{2})$

IC para $\mu$ con $\theta =\theta _{0}$(conocido)

Pivote:${\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sqrt {\frac {\theta ^{2}}{n}}}}\sim N(0,1)$

IC:$\left[{\bar {X}}-z_{\frac {\alpha }{2}}{\frac {\theta }{\sqrt {n}}},{\bar {X}}+z_{\frac {\alpha }{2}}{\frac {\theta }{\sqrt {n}}}\right]$

IC para $\mu$ con $\theta$ desconocido

Pivote:${\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sqrt {\frac {s^{2}}{n}}}}\sim t_{n-1}$

IC: $\left[{\bar {X}}-t_{n-1,{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {s}{\sqrt {n}}},{\bar {X}}+t_{n-1,{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {s}{\sqrt {n}}}\right]$

IC para $\theta ^{2}$ con $\mu$ conocido

Pivote:$\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {(X_{i}-\mu )}{\theta }}\right)^{2}\sim \chi _{n}^{2}$

IC:$\left[{\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\chi _{n,{\frac {\alpha }{2}}}^{2}}},{\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\chi _{n,1-{\frac {\alpha }{2}}}^{2}}}\right]$

IC para $\theta ^{2}$ con $\mu$ desconocido

Pivote: ${\frac {(n-1)s^{2}}{\theta ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}$

IC: $\left[{\frac {(n-1)s^{2}}{\chi _{n-1,{\frac {\alpha }{2}}}^{2}}},{\frac {(n-1)s^{2}}{\chi _{n-1,1-{\frac {\alpha }{2}}}^{2}}}\right]$

IC asintótico para $\mu$ con $\theta$ desconocido

$\left[{\bar {X}}-z_{\frac {\alpha }{2}}{\frac {s}{\sqrt {n}}},{\bar {X}}+z_{\frac {\alpha }{2}}{\frac {s}{\sqrt {n}}}\right]$

Intervalos de confianza para $E(\lambda )$

IC para $\lambda$

Pivote: $2\lambda \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \chi _{2n}^{2}$

IC: $\left[{\frac {\chi _{2n,1-{\frac {\alpha }{2}}}^{2}}{2\sum _{i=1}^{n}X_{i}}},{\frac {\chi _{2n,{\frac {\alpha }{2}}}^{2}}{2\sum _{i=1}^{n}X_{i}}}\right]$