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Tomó Mariela Sued. No se podía tener el resumen de fórmulas.

Aproximadamente 3 horas.

== Ejercicio 1 ==
<math> (U_i)_{i>=1}^n iid, U_i \~ U[0,\theta]</math>

Encontrar el límite en probabilidad de

<math> \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I_{[0,\frac{1}{5}]}(U_i) </math>

== Ejercicio 2 ==

<math> (N_t)_{i>=1} \~ PP(\lambda = 3.2) </math>. Calcular

# <math> P(N_3 - N_1 = 0) </math>
# <math> P(N_2 = 7 \land N_5 = 11) </math>

Justificar.

== Ejercicio 3 ==

v.a. <math>X</math> con acumulada

<math> F_X(x) = 
  \begin{cases} 
     0 & \text{si } x<1 \\
     \frac{1}{4} & \text{si } 1 \leq x < 2 \\
     \frac{3}{4} & \text{si } 2 \leq x < 3 \\
     1 & \text{si } 3 \leq x \\
  \end{cases}
</math>

Graficar <math>F_X</math>, determinar si <math>X</math> es una v.a. discreta o continua y calcular <math>E(X)</math> y <math>V(X)</math>

== Ejercicio 4 ==

<math> X_n \~ B(n,\frac{\lambda}{n}), \lambda > 0 </math>. 

Calcular <math> \lim_{n \to +\infty} P(X_n = k)</math>

== Ejercicio 5 ==

<math> (X_i)_{i>=1}^n </math> independientes. Completar (sin justificar).

# <math> X_n \~ B(n_i,p) </math> entonces <math> \sum_{i=1}^{n} X_i \~ \ldots </math>
# <math> X_n \~ P(\lambda_i) </math> entonces <math> \sum_{i=1}^{n} X_i \~ \ldots </math>
# <math> X_n \~ \Gamma(\alpha_i,\lambda) </math> entonces <math> \sum_{i=1}^{n} X_i \~ \ldots </math>
# <math> X_n \~ N(\mu_i,\sigma^2) </math> entonces <math> \sum_{i=1}^{n} X_i \~ \ldots </math>
# <math> X_n \~ N(0,1) </math> entonces <math> \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n} X_i \~ \ldots </math>

== Ejercicio 6 ==

Sea <math>X</math> una va. <math>E(X) = \mu = 2 \land V(X) = \sigma^2 = 0.04</math>.

Calcular aproximadamente <math> P(\sum_{i = 1}^{60} X_i > 122) </math>.

== Ejercicio 7 ==

<math> (X_i)_{i>=1}^n iid, X_i \~ N(\mu,1) </math>

Utilizando la formula del IC de nivel <math>1 - \alpha</math> con una muestra de tamaño <math>9</math> se reportó el itervalo <math>(2.53, 3.35)</math>.

Determinar <math>\bar{x_n}</math> y <math>\alpha</math>.

== Ejercicio 8 ==

<math> (X_i)_{i>=1}^n iid, X_i \~ N(\mu,1) </math>

<math> H_0: \mu = 5 \; H_1: \mu > 5</math>

Con una muestra de tamaño <math>12</math> se obtuvo un p-valor de <math>0.048</math>. Decidir qué valores de <math>\alpha</math> permiten rechazar <math>H_0</math> con los datos obtenidos.

# <math>\alpha = 0.1</math>
# <math>\alpha = 0.05</math>
# <math>\alpha = 0.01</math>
# <math>\alpha = 0.005</math>

== Ejercicio 9 ==

<math> (X_i)_{i>=1}^n iid, X_i \~ U[0,\theta]</math>. 

Probar que <math> T = max \{X_{1 \ldots n}\}</math> es el estimador de máxima verosimilitud de <math>\theta</math> y demuestre que es consistente.

== Ejercicio 10 ==

<math> (X_i)_{i>=1}^n iid, X_i \~ N(\mu,\sigma^2 = 4) </math>

<math> H_0: \mu = \mu_0 \; H_1: \mu > \mu_0</math>

Se realizó una muestra de tamaño <math>16</math> y se obtuvo <math>\bar{x_n} = 2.92</math> y un p-valor de <math>0.072</math>. Determinar <math>\mu_0</math>.