Edición de «Final 26/06/2017 (Análisis II)»
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Revisión actual | Tu texto | ||
Línea 1: | Línea 1: | ||
== Ejercicio 1 == | == Ejercicio 1 == | ||
Sea <math> F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> una función diferenciable en | Sea <math> F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> una función diferenciable en <math> P \in \mathbb{R}^2 </math> y sea <math> V \in \mathbb{R}^2 \ / \ \Vert V \Vert = 1 </math>, probar que existe la derivada direccionar <math>F_v(P)</math> y es igual a <math> \langle \nabla F(P) , V\rangle</math>. Deducir que el gradiente es la direccion de máximo crecimiento. | ||
== Ejercicio 2 == | == Ejercicio 2 == | ||
Sea <math> F: B_r(P) \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> una | Sea <math> F: B_r(P) \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> una funcion diferenciable en <math>P</math> probar que para todos <math>Q,R \in B_r(P)</math> existe un <math>P_0</math> en el segmento que une <math>Q</math> y <math>R</math> tal que <math>F(R)-F(Q) = < \nabla F(P_0) , R-Q></math> | ||
== Ejercicio 3 == | == Ejercicio 3 == | ||
Sea <math>g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> diferenciable tal que <math>g(x,1)=4 | Sea <math>g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> diferenciable tal que <math>g(x,1)=4 \forall \ x \in \mathbb{R}</math> | ||
Sea <math> | Sea <math>F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> con | ||
<math>F(x,y)= | |||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
\dfrac{g(x,y) - 4}{ \sqrt{x^2+ | \dfrac{g(x,y) - 4}{ \sqrt{x^2+y^2} } & \text{ si }(x,y) \neq (0,1) \\ | ||
0 & \text{ si } (x,y)=(0,1) | 0 & \text{ si } (x,y)=(0,1) | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
</math>. | </math>. | ||
Probar que <math>F</math> es continua pero no diferenciable. | |||