Final 10/12/2015 (Álgebra I)

Final de Ariel Pacetti. Tiempo: 3 horas y media.

Ejercicio 1

Sea $w\in G_{26}$ una raíz primitiva. Determine todos los $n\in \mathbb {N}$ tales que $w^{{2}^{n}}={\overline {w}}^{4}.$

Ejercicio 2

En cada caso, decida si puede existir una relacion en un conjunto $A$ que sea:

(a) Reflexiva, simétrica y antisimétrica.

(b) Reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva.

(c) Simétrica, antisimétrica y no transitiva.

(d) Simétrica, no antisimétrica y transitiva.

Ejercicio 3

Encuentre un polinomio mónico $q(x)$ de grado 2 en $\mathbb {Z} [x]$ que verifique simultaneamente las siguientes propiedades.

• $q(0)\equiv 2(mod\ 5)$ y $q(2)\equiv 0(mod\ 5)$
• $q(0)\equiv 3(mod\ 7)$ y $q(3)\equiv 1(mod\ 7)$

Ejercicio 4

¿Cuantos numeros $n\in \mathbb {N}$ hay, que satisfacen simultaneamente :

• $n$ es divisible por 3,
• la escritura de $n$ en base 9 es capicúa,
• la escritura de $n$ en base 9 tiene exactamente 7 digitos, (Aclaracion personal, primer digito no puede ser 0)
• la escritura de $n$ en base 9 tiene al menos 3 dígitos iguales?

Resolucion - Ejercicio 1

$w\in G_{26}\implies {\overline {w}}=w^{-1}$

${\overline {w}}^{4}=w^{-4}$

$w^{2^{n}}=w^{-4}$

$w^{2^{n}+4}=1=w^{26}$

$2^{n}+4\equiv 0(mod\ 26)$

$26=2*13$ , y como $(2:13)=1,por\ TCR$

${\begin{cases}2^{n}+4\equiv 0(mod\ 2)\ \ \ \ (i)\\2^{n}+4\equiv 0(mod\ 13)\ \ \ (ii)\end{cases}}$

$(i)$ vale para todo n.

$(ii)$ como 13 es primo, y $(13:2^{n})=1$, por Fermat $\implies 2^{n}\equiv 2^{r_{12}(n)}\ (mod\ 13)$

En definitiva, estoy buscando los $n\in \mathbb {N} :2^{r_{12}(n)}\equiv 9\ (mod\ 13)$

Analizo los posibles restos modulo 12 y veo cual verifica la condición.

Haciendo una tabla de restos, se ve que el unico que verifica es $r_{12}(n)=8$

Por lo tanto, los n que verifican la ecuacion original son de la forma $n=12k+8,k\in \mathbb {N} _{0}$