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==Ejercicio 1==
==Ejercicio 1==
'''¿Cuál es el punto del plano x + y − z = 0 más cercano al punto (2, 1, 0)?'''<br>
'''¿Cuál es el punto del plano x + y − z = 0 más cercano al punto (2, 1, 0)?'''<BR>
<math> S = \{ x + y - z = 0 \}</math>. El vector normal al plano es (1, 1, -1).<BR>
Entonces buscamos un <math>(2, 1, 0) + \lambda (1, 1, -1)</math> que pertenezca a S.
<math> (2, 1, 0) +\lambda (1, 1, -1) = (2 + \lambda, 1 + \lambda, -\lambda) </math> esta en <math>S \Longleftrightarrow 2 + \lambda + 1 + \lambda - (-\lambda) = 0 \Longleftrightarrow 3 + 3 \lambda = 0 \Longleftrightarrow \lambda = -1 \Longrightarrow </math> El punto mas cercano es <math>(2, 1, 0) + -1 (1, 1, -1) = (1, 0, 1)</math>


==Ejercicio 2==
==Ejercicio 2==
'''Sean a, b <- R^n fijos. ¿Qué número real t hace que <math>\lVert a-t*b\rVert_2</math> sea mínimo'''<br>
'''Sean <math>a, b \in \mathbb{R}^n</math> fijos. ¿Qué número real t hace que <math>\lVert a-t*b\rVert_2</math> sea mínimo'''<br>
Minimizar <math>\lVert a-t*b\rVert</math> es lo mismo que minimizar <math>\lVert a-t*b\rVert^2</math> pues la raiz es monotona y creciente. Llamemos a esta funcion <math>f(t)</math> y minimicemosla: <br>
Minimizar <math>\lVert a-t*b\rVert</math> es lo mismo que minimizar <math>\lVert a-t*b\rVert^2</math> pues la raiz es monotona y creciente. Llamemos a esta funcion <math>f(t)</math> y minimizemosla: <br>
f(t) = ||a − t * b|| ^ 2 = Sum [i = 0; i < n] (a[i] − t * b[i]) ^ 2 <br>
<math>f(t) = ||a - t * b|| ^ 2 = \sum_{i = 0}^{n} (a_i - t b_i)^2 </math><br>
Para minimizarla, derivemosla, y hallemos el minimo en f'(t) = 0 y f''(t) > 0. <br>
Para hallar el minimo de esta funcion, la derivamos y buscamos donde es igual a 0.
f'(t) = Sum [i = 0; i < n] 2 * (a[i] − t * b[i]) * b[i] <br>
<math> f'(x) = \left(\sum_{i = 0}^{n} (a_i - t b_i)^2\right)' </math><br>
f''(t) = Sum [i = 0; i < n] 2 * b[i] ^ 2 <br>
<math> = \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i (a_i - t b_i) </math><br>
<math> = \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i a_i - t -2 b_i^2 = 0</math><br>
<math> \Longleftrightarrow \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i a_i - \sum_{i = 0}^{n} t -2 b_i^2 = 0</math><br>
<math> \Longleftrightarrow \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i a_i = \sum_{i = 0}^{n} t -2 b_i^2 </math><br>
<math> \Longleftrightarrow \sum_{i = 0}^{n} b_i a_i =  t \sum_{i = 0}^{n} b_i^2 </math><br>
<math> \Longleftrightarrow \frac{\sum_{i = 0}^{n} b_i a_i}{\sum_{i = 0}^{n} b_i^2} =  t </math><br>


f'(t) = 0 ==> Sum [i = 0; i < n] 2 * (a[i] − t * b[i]) * b[i] = 0 <==> <br>
Para poder afirmar que es minimo, en realidad falta calcular <math>f''(\frac{\sum_{i = 0}^{n} b_i a_i}{\sum_{i = 0}^{n} b_i^2})</math> y ver que es mayor a 0, pero 0 ganas...


Sum [i = 0; i < n] (a[i] * b[i] − t * b[i] * b[i]) = 0 <==> <br>
==Ejercicio 3==
Sum [i = 0; i < n] (a[i] * b[i]) − t * Sum [i = 0; i < n] b[i]^2 = 0 <==> <br>
La función <math> f(x) = f(x_1, x_2, ..., x_n) = \| A x - b \| </math>es una función diferenciable de n variables, que tiene un mínimo (absoluto) sólo si <math>\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x_1}, ..., \frac{\partial f}{\partial x_m})^t = 0</math>. Calcular <math>\nabla f</math> y demostrar que <math>\nabla f(x) = 0 \Longleftrightarrow si \ A^tAx = A^tb</math> (ecuaciones normales).<BR>
Sum [i = 0; i < n] (a[i] * b[i]) = t * Sum [i = 0; i < n] b[i]^2 <==> <br>
NOTA: Por favor, si alguien sabe hacer este ejercicio, subalo...
Sum [i = 0; i < n] (a[i] * b[i]) = t * Sum [i = 0; i < n] b[i]^2 <==> <br>
Sum [i = 0; i < n] (a[i] * b[i]) / Sum [i = 0; i < n] b[i] ^ 2 = t <br>


Notese que necesitamos que <math>\lVert b\rVert >0</math> para poder pasar dividiendo la sumatoria, y para que <math>f(t) > 0</math>. Entonces para cualquier <math>\lVert b\rVert >0</math> t = Sum [i = 0; i < n] (a[i] * b[i]) / Sum [i = 0; i < n] b[i] ^ 2 es el que minimiza la funcion, y para <math>\lVert b\rVert =0</math> cualquier t da lo mismo.
==Ejercicio 4==
'''Sea <math>A \in \mathbb{R}^{nxm}</math>. Se define el espacio columna de A como el subespacio de <math>\mathbb{R}^n</math> generado por las columnas de A y el espacio fila de A como el subespacio de <math>\mathbb{R}^n</math> generado por las filas de A.'''
====Ejercicio 4. a====
'''Probar que el espacio columna de A es <math>Im(A)</math>.'''<BR>
<math>v \in Im(A) \Longleftrightarrow \exists w / Aw = x</math>.
<math>\Longleftrightarrow x_i = \sum_{j = 1}{n}A_{ij} wj</math>.
<math>\Longleftrightarrow x = \sum_{j = 1}{n}wj A_{*j}</math>.
<math>\Longleftrightarrow x \in espacio \ columnas \ de \ A</math>.
====Ejercicio 4. d====
'''Probar que el espacio fila de A es <math>Nu(A)^{\bot}</math>.'''<BR>
La idea es que alguien pertenece a <math>Nu(a)</math> solamente si dicho vector da 0 contra todas las filas de <math>A</math>. Por lo tanto es ortogonal a una base del espacio filas de <math>A</math>, por lo que pertenece a <math>Nu(A)^{\bot}</math>. La vuelta es si pertenece a <math>Nu(A)^{\bot}</math>, entonces va a dar 0 contra todas las filas de A.
====Ejercicio 4. c====
'''Probar que <math>Im(A)^{\bot} = Nu(A^t)</math>.'''<BR>
<math>Im(A)</math> es el espacio columna de A. Que es el espacio fila de <math>A^t</math>. Y el espacio fila de una matriz es ortogonal a su nucleo por lo que probamos antes<math>\Box</math>.
 
==Ejercicio 5==
'''Sean u y v vectores ortogonales en <math>\mathbb{R}</math> entonces <math> \| u + v \|_2^2  = \| u \|_2^2 + \| u \|_2^2 </math> (Teorema de Pitágoras).'''<BR>
<math> \| u + v \| _2^2 = (u + v) \times (u + v)</math><BR>
<math>= u \times (u + v) + v \times (u + v) </math><BR>
<math>= (u \times u) + (u \times v) + (v \times u) + (v \times v) </math>.<BR>
Como u y v son ortogonales, entonces <math>(v \times u) = 0</math> y luego: <math> \| u + v \| _2^2 = (u \times u) +  (v \times v) = \| u \| _2 + \| u \| _2</math><BR>
 
==Ejercicio 6==
'''Demostrar que si P es una proyección ortogonal sobre el subespacio <math>S \in \mathbb{R}^n</math>, entonces para todo <math> x \in \mathbb{R}^n, (I - P)x \in S^{\bot}</math>.'''<BR>
NOTA: Si alguien me dice que es una proyección ortogonal (la definicion de una), intento hacerlo...


==Ejercicio 4==
Ver
'''Sea A � IRn×m. Se define el espacio columna de A como el subespacio de IRn generado por las
 
columnas de A y el espacio fila de A como el subespacio de IRm generado por las filas de A.'''<br>
http://mathworld.wolfram.com/ProjectionMatrix.html
===(a)===
 
Probar que el espacio columna de A es Im(A).
o
===(d)===
 
Probar que el espacio fila de A es Nu(A)^bottom.
http://planetmath.org/encyclopedia/Projection.html
===(c)===
Probar que Im(A)^bottom = Nu(A^t).
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Revisión del 00:18 3 dic 2006

Ejercicio 1

¿Cuál es el punto del plano x + y − z = 0 más cercano al punto (2, 1, 0)?
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S = \{ x + y - z = 0 \}} . El vector normal al plano es (1, 1, -1).
Entonces buscamos un Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (2, 1, 0) + \lambda (1, 1, -1)} que pertenezca a S. Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (2, 1, 0) +\lambda (1, 1, -1) = (2 + \lambda, 1 + \lambda, -\lambda) } esta en Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S \Longleftrightarrow 2 + \lambda + 1 + \lambda - (-\lambda) = 0 \Longleftrightarrow 3 + 3 \lambda = 0 \Longleftrightarrow \lambda = -1 \Longrightarrow } El punto mas cercano es Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (2, 1, 0) + -1 (1, 1, -1) = (1, 0, 1)}

Ejercicio 2

Sean Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a, b \in \mathbb{R}^n} fijos. ¿Qué número real t hace que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lVert a-t*b\rVert_2} sea mínimo
Minimizar Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lVert a-t*b\rVert} es lo mismo que minimizar Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lVert a-t*b\rVert^2} pues la raiz es monotona y creciente. Llamemos a esta funcion Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(t)} y minimizemosla:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(t) = ||a - t * b|| ^ 2 = \sum_{i = 0}^{n} (a_i - t b_i)^2 }
Para hallar el minimo de esta funcion, la derivamos y buscamos donde es igual a 0. Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f'(x) = \left(\sum_{i = 0}^{n} (a_i - t b_i)^2\right)' }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i (a_i - t b_i) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i a_i - t -2 b_i^2 = 0}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i a_i - \sum_{i = 0}^{n} t -2 b_i^2 = 0}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i a_i = \sum_{i = 0}^{n} t -2 b_i^2 }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow \sum_{i = 0}^{n} b_i a_i = t \sum_{i = 0}^{n} b_i^2 }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow \frac{\sum_{i = 0}^{n} b_i a_i}{\sum_{i = 0}^{n} b_i^2} = t }

Para poder afirmar que es minimo, en realidad falta calcular Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f''(\frac{\sum_{i = 0}^{n} b_i a_i}{\sum_{i = 0}^{n} b_i^2})} y ver que es mayor a 0, pero 0 ganas...

Ejercicio 3

La función Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x) = f(x_1, x_2, ..., x_n) = \| A x - b \| } es una función diferenciable de n variables, que tiene un mínimo (absoluto) sólo si Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x_1}, ..., \frac{\partial f}{\partial x_m})^t = 0} . Calcular Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \nabla f} y demostrar que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \nabla f(x) = 0 \Longleftrightarrow si \ A^tAx = A^tb} (ecuaciones normales).
NOTA: Por favor, si alguien sabe hacer este ejercicio, subalo...

Ejercicio 4

Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \in \mathbb{R}^{nxm}} . Se define el espacio columna de A como el subespacio de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} generado por las columnas de A y el espacio fila de A como el subespacio de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} generado por las filas de A.

Ejercicio 4. a

Probar que el espacio columna de A es Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Im(A)} .
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v \in Im(A) \Longleftrightarrow \exists w / Aw = x} . Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow x_i = \sum_{j = 1}{n}A_{ij} wj} . Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow x = \sum_{j = 1}{n}wj A_{*j}} . Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow x \in espacio \ columnas \ de \ A} .

Ejercicio 4. d

Probar que el espacio fila de A es Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Nu(A)^{\bot}} .
La idea es que alguien pertenece a Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Nu(a)} solamente si dicho vector da 0 contra todas las filas de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} . Por lo tanto es ortogonal a una base del espacio filas de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} , por lo que pertenece a Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Nu(A)^{\bot}} . La vuelta es si pertenece a Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Nu(A)^{\bot}} , entonces va a dar 0 contra todas las filas de A.

Ejercicio 4. c

Probar que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Im(A)^{\bot} = Nu(A^t)} .
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Im(A)} es el espacio columna de A. Que es el espacio fila de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A^t} . Y el espacio fila de una matriz es ortogonal a su nucleo por lo que probamos antesError al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Box} .

Ejercicio 5

Sean u y v vectores ortogonales en Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{R}} entonces Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \| u + v \|_2^2 = \| u \|_2^2 + \| u \|_2^2 } (Teorema de Pitágoras).
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \| u + v \| _2^2 = (u + v) \times (u + v)}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = u \times (u + v) + v \times (u + v) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = (u \times u) + (u \times v) + (v \times u) + (v \times v) } .
Como u y v son ortogonales, entonces Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (v \times u) = 0} y luego: Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \| u + v \| _2^2 = (u \times u) + (v \times v) = \| u \| _2 + \| u \| _2}

Ejercicio 6

Demostrar que si P es una proyección ortogonal sobre el subespacio Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S \in \mathbb{R}^n} , entonces para todo Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in \mathbb{R}^n, (I - P)x \in S^{\bot}} .
NOTA: Si alguien me dice que es una proyección ortogonal (la definicion de una), intento hacerlo...

Ver

http://mathworld.wolfram.com/ProjectionMatrix.html

o

http://planetmath.org/encyclopedia/Projection.html

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