Diferencia entre revisiones de «Final 26/06/2017 (Análisis II)»
De Cuba-Wiki
Línea 8: | Línea 8: | ||
Sea <math>g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> diferenciable tal que <math>g(x,1)=4 \ \forall \ x \in \mathbb{R}</math>. | Sea <math>g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> diferenciable tal que <math>g(x,1)=4 \ \forall \ x \in \mathbb{R}</math>. | ||
Sea <math>f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> con | Sea <math>f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> con | ||
<math>f(x,y)= | <br><br><math>f(x,y)= | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
\dfrac{g(x,y) - 4}{ \sqrt{x^2+y^2} } & \text{ si }(x,y) \neq (0,1) \\ | \dfrac{g(x,y) - 4}{ \sqrt{x^2+y^2} } & \text{ si }(x,y) \neq (0,1) \\ | ||
Línea 14: | Línea 14: | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
</math>. | </math>. | ||
Probar que <math>f</math> es continua pero no diferenciable. | <br><br>Probar que <math>f</math> es continua pero no diferenciable. | ||
== Ejercicio 4 == | == Ejercicio 4 == | ||
Sea <math>g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> continua tal que <math>\int_2^4 g(t) dt = 2</math>. | Sea <math>g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> continua tal que <math>\int_2^4 g(t) dt = 2</math>. | ||
<br>Sea <math>f(x,y) = \frac{g(\sqrt{x^2+y^2})}{\sqrt{x^2+y^2}}</math> y sea <math>D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ / \ x,y \geq 0\ ; \ 4 \leq x^2+y^2 \leq 16 \ ; \ x \leq y \leq \sqrt{3}x\}</math>. | <br>Sea <math>f(x,y) = \frac{g(\sqrt{x^2+y^2})}{\sqrt{x^2+y^2}}</math> y sea <math>D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ / \ x,y \geq 0\ ; \ 4 \leq x^2+y^2 \leq 16 \ ; \ x \leq y \leq \sqrt{3}x\}</math>. | ||
<br>Calcular <math>\int_D f(x,y) dx dy</math> | <br>Calcular <math>\int_D f(x,y) dx dy</math> |
Revisión del 21:21 1 ago 2017
Ejercicio 1
Sea una función diferenciable en un punto y sea . Probar que existe la derivada direccional y es igual a . Deducir que el gradiente es la dirección de máximo crecimiento.
Ejercicio 2
Sea una función diferenciable en . Probar que para todos existe un en el segmento que une con tal que .
Ejercicio 3
Sea diferenciable tal que .
Sea con
.
Probar que es continua pero no diferenciable.
Ejercicio 4
Sea continua tal que .
Sea y sea .
Calcular