Final 06/08/2013 (Álgebra I)

Ejercicio 1

Dado un conjunto finito de n elementos, ­cuántas relaciones simétricas se pueden hacer?

Ejercicio 2

Dado U un conjunto de n elementos y dados $A,B\subseteq U$ Y los siguientes valores: $\#A\cap B={\frac {2n}{5}}\#B={\frac {1n}{2}}\#\left(A\cap B^{c}\right)^{c}={\frac {13n}{20}}$ Calcular $-\#A-\#A\bigtriangleup B$

Resolución

Primero que nada Esta cosa $\#\left(A\cap B^{c}\right)^{c}={\frac {13n}{20}}$ es igual que decir $\#\left(A-B\right)^{c}$ Entonces $\#A=\#U-\#\left(A-B\right)^{c}+\#A\cap B$ Entonces $\#A=n-{\frac {13n}{20}}+{\frac {2n}{5}}={\frac {3n}{4}}$ Ahora el otro $\#A\bigtriangleup B=\#A+\#B-2\left(\#A\cap B\right)$ Entonces $\#A\bigtriangleup B={\frac {3n}{4}}+{\frac {1n}{2}}-2\left({\frac {13n}{20n}}\right)={\frac {9n}{20}}$

Ejercicio 3

Dado $P\left(x\right)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ la suma de dos de sus raíces es igual a 0. Entonces $ab=c$

Resolución

$P\left(x\right)=\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)\left(x-\delta \right)=x^{3}-(\alpha +\beta +\delta )x^{2}+(\alpha \beta +\alpha \delta +\beta \delta )x-\alpha \beta \delta$

$-a=\alpha +\beta +\delta$

$b=\alpha \beta +\alpha \delta +\beta \delta$

$-c=\alpha \beta \delta$

Sabemos que la suma de dos de sus raices es 0. Entonces $\alpha =-\beta$

Reemplazamos y nos queda $a=-\delta b=-\beta ^{2}c=\beta ^{2}\delta$ Luego vemos que se verifica que $ab=c$

Ejercicio 4

Texto larguísimo. La cosa era mas o menos así. Tenemos menos de 600 monedas, en una cantidad par. Se las repartian en filas de a 17 y sobraban 8. Luego se repartían la mitad en filas de 7 y sobraban 3. ¿Cuantas monedas son?¿Pueden ser varias?

Resolución

Esos datos en concreto se resumen en (c representa a cantidad) $c\equiv 0\left(2\right)c\equiv 8\left(17\right)\left({\frac {c}{2}}\right)\equiv 3\left(7\right)=c\equiv 6\left(7\right)$ Luego aplicando TCR nos quedaba como solución x=238q+76 Y entonces las cantidades posibles son varias y menores que 600, van a ser: 76,314,552

Ejercicio 5

Dados z,w raices n-esimas de la unidad probar que $(z+w)^{n}$ pertenece a los reales.