Final 22/02/2019 (Análisis II)

Ejercicio 1

Sea $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ con $f\in C^{1}$ en $[a,b]$. Probar que $\forall x,y\in [a,b]\ \exists M>0$ positivo tal que $|f(x)-f(y)|<=M|x-y|$

Ejercicio 2

Sea $f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ de clase $C^{1}$ y sea $S$ el entorno de $f(x,y,z)=0$ y $\bigtriangledown f(0,0,0)\neq 0$, probar que el gradiente de $f$ es perpendicular al plano tangente de $S$.

Ejercicio 3

Sea $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} \ C^{3}$ sea $P$

$P(x,y)=3+2x+5xy-y^{2}$ en $P=(1,-1)$ su polinomio de taylor de orden 2 de $f$ en $(1,-1)$:

a) sea $g(x,y)=f(ye^{(x+1)},2xy+y^{2})$, encontrar el vector unitario $v$ que maximize ${\frac {\partial g}{\partial v}}$ en $(-1,1)$.

b) Decidir si este limite existe: $\lim _{(x,y)\rightarrow (1,-1)}{\frac {f(x,y)-3-2x-5xy+y^{2}+sen(x-1)(y+1)^{2}}{(x+1)^{2}+(y-1)^{2}}}$

Ejercicio 4

Sea $f:[0,1]^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ continua tal que $f(x,y)=f(y,x)\ \forall x,y\in [0,1]$. probar que: $\int _{0}^{1}(\int _{0}^{x}f(x,y)dy)dx=\int _{0}^{1}(\int _{0}^{y}f(x,y)dx)dy={\frac {1}{2}}\int _{[0,1]^{2}}f(x,y)dxdy$