Diferencia entre revisiones de «Final 22/02/2019 (Análisis II)»
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== Ejercicio 1 == | == Ejercicio 1 == | ||
Sea <math>f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}</math> | Sea <math>f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}</math> de clase <math> C^1</math> en <math>[a,b]</math>. Probar que <math>\forall x,y \in [a,b] \ \exist M > 0 </math> positivo tal que | ||
<math>|f(x)-f(y)| <= M|x-y|</math> | <math>|f(x)-f(y)| <= M|x-y|</math> | ||
== Ejercicio 2 == | == Ejercicio 2 == | ||
Sea <math>f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb {R}</math> de clase <math>C^1</math> y sea <math>S</math> el entorno de <math>f(x,y,z)=0</math> y <math>\bigtriangledown f(0,0,0) \neq 0</math>, probar que el gradiente de <math>f</math> es perpendicular al plano tangente de <math>S</math>. | Sea <math>f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb {R}</math> de clase <math>C^1</math> y sea <math>S</math> el entorno de <math>f(x,y,z)=0</math> y <math>\bigtriangledown f(0,0,0) \neq 0</math>, probar que el gradiente de <math>f</math> es perpendicular al plano tangente de <math>S</math>. | ||
==Ejercicio 3== | ==Ejercicio 3== | ||
Sea <math>f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} | Sea <math>f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> de clase <math>C^3 </math> sea <math>P</math> | ||
<math>P(x,y) = 3 +2x + | <math>P(x,y) = 3 +2x + 5xy -y^2</math> | ||
su polinomio de taylor en <math>(1,-1)</math>: | su polinomio de taylor en <math>(1,-1)</math>: | ||
a) sea <math>g(x,y)=f(ye^{(x+1)}, | a) sea <math>g(x,y)=f(ye^{(x+1)},2xy + y^2)</math>, encontrar el vector unitario <math>v</math> que maximize <math>\frac{\partial g}{\partial v} </math> en <math>(-1,1)</math>. | ||
b) Decidir si este limite existe: | b) Decidir si este limite existe: | ||
<math> \lim_{(x,y)\rightarrow (1,-1)} \frac{f(x,y) - 3 -2x - 5xy + y^2 + sen(x-1)(y+1)^2}{(x | <math> \lim_{(x,y)\rightarrow (1,-1)} \frac{f(x,y) - 3 -2x - 5xy + y^2 + sen(x-1)(y+1)^2}{(x-1)^2 + (y+1)^2} </math> | ||
==Ejercicio 4== | ==Ejercicio 4== | ||
Sea <math> f:[0,1]^2 \rightarrow \mathbb{R} </math> continua tal que <math>f(x,y) = f(y,x) \ \forall x,y \in [0,1] </math>. probar que: | Sea <math> f:[0,1]^2 \rightarrow \mathbb{R} </math> continua tal que <math>f(x,y) = f(y,x) \ \forall x,y \in [0,1] </math>. probar que: | ||
<math> \int_{0}^{1} ( \int_{0}^{x} f(x,y) dy )dx = \int_{0}^{1} ( \int_{0}^{y} f(x,y) dx )dy = \frac{1}{2} \int_{[0,1]^2} f(x,y) dxdy</math> | <math> \int_{0}^{1} ( \int_{0}^{x} f(x,y) dy )dx = \int_{0}^{1} ( \int_{0}^{y} f(x,y) dx )dy = \frac{1}{2} \int_{[0,1]^2} f(x,y) dxdy</math> | ||
Revisión actual - 19:48 26 feb 2020
Ejercicio 1
Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}} de clase Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C^1} en Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [a,b]} . Probar que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall x,y \in [a,b] \ \exist M > 0 } positivo tal que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |f(x)-f(y)| <= M|x-y|}
Ejercicio 2
Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb {R}} de clase Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C^1} y sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S} el entorno de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x,y,z)=0} y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bigtriangledown f(0,0,0) \neq 0} , probar que el gradiente de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} es perpendicular al plano tangente de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S} .
Ejercicio 3
Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}} de clase Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C^3 } sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(x,y) = 3 +2x + 5xy -y^2} su polinomio de taylor en Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (1,-1)} :
a) sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g(x,y)=f(ye^{(x+1)},2xy + y^2)} , encontrar el vector unitario Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v} que maximize Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial v} } en Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (-1,1)} .
b) Decidir si este limite existe: Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (1,-1)} \frac{f(x,y) - 3 -2x - 5xy + y^2 + sen(x-1)(y+1)^2}{(x-1)^2 + (y+1)^2} }
Ejercicio 4
Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f:[0,1]^2 \rightarrow \mathbb{R} } continua tal que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x,y) = f(y,x) \ \forall x,y \in [0,1] } . probar que: Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int_{0}^{1} ( \int_{0}^{x} f(x,y) dy )dx = \int_{0}^{1} ( \int_{0}^{y} f(x,y) dx )dy = \frac{1}{2} \int_{[0,1]^2} f(x,y) dxdy}
