Diferencia entre revisiones de «Final 28/02/2020 (Análisis II)»
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== Ejercicio 1 == | == Ejercicio 1 == | ||
Sea <math>f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> de clase <math> C^1</math> / f(t*P) = t*f(P) <math>\ \forall \ t \in \mathbb{R} y \forall P \in \mathbb{R}^2 </math> | Sea <math>f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> de clase <math> C^1</math> / f(t*P) = t*f(P) <math>\ \forall \ t\ \in\ \mathbb{R} y \forall P \in \mathbb{R}^2 </math> | ||
a) Calcular f(0,0). | |||
b) Calcular las derivadas direccionales de f en (0,0). | |||
c) Probar que f es una transformación lineal. | |||
== Ejercicio 2 == | == Ejercicio 2 == | ||
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Sea <math>g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb {R}</math> la función <math>g(x,y)= e^((2x+y)(3x+2y)-1)</math> y notemos por S la curva de nivel | Sea <math>g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb {R}</math> la función <math>g(x,y)= e^((2x+y)(3x+2y)-1)</math> y notemos por S la curva de nivel | ||
S = {(x,y) \in <math> \mathbb{R}^2< | S = {(x,y) \in <math> \mathbb{R}^2</math> : g(x,y)=1} | ||
a) Encontrar todos los puntos de P \in S para los cuales es posible despejar la variable y en función de la variable x alrededor de P | a) Encontrar todos los puntos de P \in S para los cuales es posible despejar la variable y en función de la variable x alrededor de P |
Revisión del 23:59 28 feb 2020
Ejercicio 1
Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}} de clase Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C^1} / f(t*P) = t*f(P) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ \forall \ t\ \in\ \mathbb{R} y \forall P \in \mathbb{R}^2 }
a) Calcular f(0,0).
b) Calcular las derivadas direccionales de f en (0,0).
c) Probar que f es una transformación lineal.
Ejercicio 2
Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb {R}} una función de clase Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C^2} / su polinomio de Taylor de grado 2 alrededor de q = (1,2,3) es Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(x,y,z)= x^2 + y*z}
Notar que no esta descrito en potencias de (x-1),(y-2) y (z-3) como habitualmente se lo da
Si c(t) es la curva dada por c(t) = q + t*(a,b,c) y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g(t) = f(c(t))} , calcule g'(0) y g"(0) en términos de a,b,c.
Ejercicio 3
Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb {R}} la función Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g(x,y)= e^((2x+y)(3x+2y)-1)} y notemos por S la curva de nivel
S = {(x,y) \in Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{R}^2} : g(x,y)=1}
a) Encontrar todos los puntos de P \in S para los cuales es posible despejar la variable y en función de la variable x alrededor de P b) Probar que la función f(x,y)= 2x+y no alcanza ni max ni min en S c) ¿Es S acotada?
Ejercicio 4
Sea D = [0,1]x[0,l] y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f:D \rightarrow \mathbb {R}} una función integrable / f(x,y) = -f(x,y). Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Muestre que \int(\int_{D} f) } = 0