Práctica 1 (Métodos Numéricos)

Nota: Rn está formado por vectores columna. Cuando se escriben por filas es por comodidad tipográfica.

Ejercicio 1

Dadas las matrices $A=(a_{ij})eR^{nxm}$ , $B=(b_{ij})eR^{mxn}$ , $D=(d_{ij})eR^{mxm}$ y los vectores columna $x=(x_{i}),z=(z_{i})eR^{n}$, $y=(y_{i}),w=(w_{i})eR^{m}$(donde la notación $a_{ij}$ representa el elemento que está en la fila i y en la columna j de la matriz A y la notación xi representa el elemento i-esimo del vector x), decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y en este último caso justificar por qué lo son.

a) $x^{t}Az=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}x_{i}a_{ij}z_{j}$ FALSA

b) $xz^{t}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}z_{i}$ FALSA (El resultado es una matriz $R^{nxn}$ )

c) VERDADERA

d) FALSA

Ejercicio 2

a) Se puede

b) No se puede

c) Se puede

Ejercicio 3

Para la parte a), si la propiedad vale para todos los x, en particular vale para los vectores de la base canónica. Ver que resulta cuando multiplicamos una matriz por los vectores de esta base. Para la parte b), usar la parte a).

Ejercicio 5

si A.B = 0 vale que A=0 o B=0? No vale. Contra ejemplo, A=[[1 1] [1 1]] y B[[1 -1] [1 -1]], A.B= 0 pero ninguna de las dos es la matriz nula.

Ejercicio 6

Falso. Contraejemplo: A=[ [1, 1], [0, 0] ], B=[ [1, 0] ], C=[ [0, 1] ]

Ejercicio 7

Sean A,B e Rnxn. Dar condiciones necesarias y suficientes sobre A y B para que valga la igualdad (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2. Idem para que (A + B)(A - B) = A2 - B2

• (A + B)^2 = (A + B)(A + B) = A^2 + AB + BA + B^2 = A^2 + 2AB + B^2 <=> AB+BA =2AB <=> BA = AB <=> A=B o A o B son la matriz identidad.

• (A + B)(A - B) = A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2 <=> -AB+BA =0 <=> BA = AB <=> A=B o A o B son la matriz identidad.

Ejercicio 8

Sea A e Rnxn y m e N, probar la igualdad

(I - A)(I + A + ... + A^m) = (I + A + ... + A^m)(I - A) = I - A^m+1

• (I - A)(I + A + ... + A^m) = I^2 + IA + ... + IA^m - AI - A^2 - ... - A^m+1 = I + A + ... + A^m - A - A^2 - ... - A^m+1 = I - A^m+1

• (I + A + ... + A^m)(I - A) = I^2 - IA + AI - A^2 + A^2 I - A^3 + ... + A^m I - A^m+1 = (I - A) + (A - A^2) + (A^2 - A^3) + ... + (A^m - A^m+1) = I - A^m+1

Ejercicio 9

Determinar si los siguientes conjuntos de Rn son linealmente independientes. Cuando no lo sean, escribir uno de sus elementos como combinación lineal del resto.

a) C = {(1, 2, 1, 0), (2, 1, 3, 0), (3, 2, 4, 1)} C R4

b) C = {(3, 3, 3), (2, 1, 0), (7, 5, 3)} C R3

a) LI

b) LD (3,3,3) + 2 (2,1,0) = (7,5,3)

Ejercicio 12

Sea A e Rmxn. Demostrar que T(x) = Ax es una transformación lineal.

Una transformación (o mapeo) T es lineal si:

• (i) T(u + v) = T(u) + T(v) para toda u, v en el dominio de T

• (ii) T(cu) = cT(u) para toda u y todos los escalares c.

Teorema: Si A es una matriz de m × n, u y v son vectores en Rn, y c es un escalar, entonces

• a. A(u + v) = Au + Av

• b. A(cu) = c(Au)

• T(x) = Ax

• T(y) = Ay

• T(x) + T(y) = Ax + Ay = A(x + y) = T(x + y)

• cT(x) = cAx = Acx = T(cx)