Práctica 6 (LyC Verano)

Ejercicio 04

a)

Esta propiedad equivale a: Para todo x,y en R tq x<y, existe un z en Q tq x<z<y
Esto significa que los racionales son densos en los reales, es decir, siempre hay un racional entre dos reales cualesquiera.

b)

Esta propiedad significa: Todos los dias nace un esclavo

c)

Esta propiedad significa: La suma de pares es impar (No habran querido poner al reves?)

d)

• 1: Hay una persona x que quiere a todas las personas
• 2: Toda persona y es querida al menos por una persona x
• 3: Hay una persona x tal que, si hay una persona y que quiere a todas las personas, entonces x quiere a y
• 4: Hay una persona x que no quiere a ninguna persona

Ejercicio 05

a)$\neg (\exists x)Politico(x)\wedge Honesto(x)$
b)$\neg (\forall x)Ave(x)\rightarrow Vuela(x)$
c)$(\forall x)(Trasc(x)\rightarrow Irrac(x))\wedge (Irrac(x)\rightarrow Trasc(x))$
d)$(\exists x)(Ivanoff(x)\wedge (\forall y)\neg Odia(y,y)\rightarrow Odia(x,y))$
e)$((\forall x)(\exists y)Ama(x,y)\wedge \neg (\exists x)(\forall y)Ama(x,y))\vee (\exists x)(\forall y)Ama(x,y)$

Ejercicio 06

a)$(\exists x)(\exists y)(x\neq y)$
b)$(\exists x)((\exists y)(x\neq y)\wedge (\forall z)(x=z\vee y=z))$
c)$\neg (\exists x)(x=x)\vee (\exists x)(\forall y)(x=y)\vee$ Punto b)
d)Punto c) $\wedge (\exists x)P(x)$
e)$(\exists x)(P(x)\rightarrow (\forall y)(x=y))$
f)$(\exists x)(P(x)\wedge (\forall y)(x=y))$

Ejercicio 09

Recordemos que un elemento de una interpretacion es distinguible si existe un predicado unario que se verifica solo para ese elemento.

En el caso de (N, ·), el uno es el unico elemento neutro: $\forall y(y.x=y)$

En el caso de (N, +), el uno es el unico elemento que verifica que si dos numeros sumados dan 1, uno es cero y el otro no: $\forall y\forall z(y+z=x\rightarrow (\forall w(w+y=w)\wedge \exists w(w+z\neq w))\vee (\forall w(w+z=w)\wedge \exists w(w+y\neq w)))$

Ejercicio 11

Probar que si el universo de una interpretacion es finito con n+1 elementos, y tiene la propiedad que n elementos del universo son distinguibles, entonces todos los elementos son distinguibles.

Sea $\phi _{i}$ la funcion que es valida solo al ser evaluada en el elemento i, es decir, la funcion que distingue al elemento i del conjunto. Por hipotesis, existen las funciones $\phi _{1},\phi _{2},...\phi _{n}$.

Entonces la funcion que distingue al ultimo elemento, que es la que falta para que todos sean distinguibles, es:

$\phi _{n+1}=\neg \phi _{1}\wedge \neg \phi _{2}\wedge ...\wedge \neg \phi _{n}$