Diferencia entre revisiones de «Final 21/12/2010 (Análisis II)»

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(No se muestran 10 ediciones intermedias del mismo usuario)
Línea 3: Línea 3:
== Parte a ==
== Parte a ==
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Resolución
Posible resolución
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Puede verse que si <math>(x,y) \neq (0,0)</math> las derivadas parciales de <math>f(x,y)</math> son:
Puede verse que si <math>(x,y) \neq (0,0)</math> las derivadas parciales de <math>f(x,y)</math> son:
<math>
<math>
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{(3x^2 y - y^3)(x^2+y^2)-(x^3y - xy^3)(2x)}{(x^2+y^2)^2}
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{(3x^2 y - y^3)(x^2+y^2)-(x^3y - xy^3)(2x)}{(x^2+y^2)^2}
Línea 14: Línea 15:
</math>
</math>


Y que
Y que por lo tanto:
 
<math>
<math>
\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)= -y  
\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)= -y  
Línea 20: Línea 22:


<math>
<math>
\frac{\partial f}{\partial x}(x,0)= x  
\frac{\partial f}{\partial y}(x,0)= x  
</math>
</math>


Línea 29: Línea 31:
</math>
</math>


<math>
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)= \lim_{t\rightarrow0} \frac{f((0,t)) - f(0,0)}{t} = \lim_{t\rightarrow0} \frac{ \frac{0.t(0-t^2)}{0 + t^2} - f(0,0)}{t} = 0
</math>


Es decir que ambas derivadas parciales existen en (0,0) y coinciden con lo que esperábamos verificar.
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</div>
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== Parte b ==
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Posible resolución
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Para probar que las derivadas cruzadas son distintas lo podemos hacer por definición. Es decir que tenemos:
<math>\lim_{t->0}\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,t) - \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{t} = \lim_{t->0}\frac{-t - 0}{t} = -1</math>
<math>\lim_{t->0}\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(t,0) - \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{t} = \lim_{t->0}\frac{t - 0}{t} = 1</math>
Por lo que probamos que las derivadas cruzadas son distintas en el (0,0).
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== Parte c ==
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Posible resolución
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Que <math>f</math> sea de clase <math>C^1</math> quiere decir que las derivadas parciales existen y son continuas. Sabemos que existen en todos los puntos del dominio, pues en los puntos distintos del (0,0)  <math>f</math> es una composición de funciones de clase <math>C^1</math> y por tanto de clase <math>C^1</math>.
Sabemos que en el (0,0) existen las derivadas parciales y su valor es (0,0), restaría probar que son continuas en el (0,0).
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== Parte d ==
== Parte d ==
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Resolución
Resolución
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Sabemos por el teorema de Schwarz que si <math>f</math>  es <math>C^2</math> entonces <math> \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y)\eq \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y) </math>. Por contrarrecíproco como no son iguales <math>f</math> no es <math>C^2</math>.
Sabemos por el teorema de Schwarz que si <math>f</math>  es <math>C^2</math> entonces <math> \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y)= \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y) </math>. Por contrarrecíproco como no son iguales <math>f</math> no es <math>C^2</math>.
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Revisión actual - 18:52 25 dic 2012

Ejercicio 1

Parte a

Posible resolución

Puede verse que si las derivadas parciales de son:

Y que por lo tanto:

Dado que la división no está definida para el 0, entonces hay que calcular las derivadas parciales utilizando la definición y que ambas verifiquen que dan 0:

Es decir que ambas derivadas parciales existen en (0,0) y coinciden con lo que esperábamos verificar.

Parte b

Posible resolución

Para probar que las derivadas cruzadas son distintas lo podemos hacer por definición. Es decir que tenemos:

Por lo que probamos que las derivadas cruzadas son distintas en el (0,0).

Parte c

Posible resolución

Que sea de clase quiere decir que las derivadas parciales existen y son continuas. Sabemos que existen en todos los puntos del dominio, pues en los puntos distintos del (0,0) es una composición de funciones de clase y por tanto de clase . Sabemos que en el (0,0) existen las derivadas parciales y su valor es (0,0), restaría probar que son continuas en el (0,0).

Parte d

Resolución

Sabemos por el teorema de Schwarz que si es entonces . Por contrarrecíproco como no son iguales no es .