Diferencia entre revisiones de «Final 21/12/2010 (Análisis II)»

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(No se muestran 4 ediciones intermedias del mismo usuario)
Línea 3: Línea 3:
== Parte a ==
== Parte a ==
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Resolución
Posible resolución
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Puede verse que si <math>(x,y) \neq (0,0)</math> las derivadas parciales de <math>f(x,y)</math> son:
Puede verse que si <math>(x,y) \neq (0,0)</math> las derivadas parciales de <math>f(x,y)</math> son:
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== Parte b ==
== Parte b ==
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Resolución
Posible resolución
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Para probar que las derivadas cruzadas son distintas lo podemos hacer por definición. Es decir que tenemos:
 
<math>\lim_{t->0}\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,t) - \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{t} = \lim_{t->0}\frac{-t - 0}{t} = -1</math>
 
<math>\lim_{t->0}\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(t,0) - \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{t} = \lim_{t->0}\frac{t - 0}{t} = 1</math>
 
Por lo que probamos que las derivadas cruzadas son distintas en el (0,0).
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== Parte c ==
== Parte c ==
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Resolución
Posible resolución
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Si <math>f</math> es clase <math>C^1</math> pues probamos que las derivadas parciales existen en  
Que <math>f</math> sea de clase <math>C^1</math> quiere decir que las derivadas parciales existen y son continuas. Sabemos que existen en todos los puntos del dominio, pues en los puntos distintos del (0,0)  <math>f</math> es una composición de funciones de clase <math>C^1</math> y por tanto de clase <math>C^1</math>.
Sabemos que en el (0,0) existen las derivadas parciales y su valor es (0,0), restaría probar que son continuas en el (0,0).
 
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Revisión actual - 18:52 25 dic 2012

Ejercicio 1

Parte a

Posible resolución

Puede verse que si las derivadas parciales de son:

Y que por lo tanto:

Dado que la división no está definida para el 0, entonces hay que calcular las derivadas parciales utilizando la definición y que ambas verifiquen que dan 0:

Es decir que ambas derivadas parciales existen en (0,0) y coinciden con lo que esperábamos verificar.

Parte b

Posible resolución

Para probar que las derivadas cruzadas son distintas lo podemos hacer por definición. Es decir que tenemos:

Por lo que probamos que las derivadas cruzadas son distintas en el (0,0).

Parte c

Posible resolución

Que sea de clase quiere decir que las derivadas parciales existen y son continuas. Sabemos que existen en todos los puntos del dominio, pues en los puntos distintos del (0,0) es una composición de funciones de clase y por tanto de clase . Sabemos que en el (0,0) existen las derivadas parciales y su valor es (0,0), restaría probar que son continuas en el (0,0).

Parte d

Resolución

Sabemos por el teorema de Schwarz que si es entonces . Por contrarrecíproco como no son iguales no es .