Final 28/02/2014 (Análisis II)

Ejercicio 1

Sea $f(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {x^{n}\cdot y}{x^{2}+y^{2}}}&{\text{ si }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{ si }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}$

1. Decidir para qué valores de $n\in \mathbb {N}$ existen todas las derivadas direccionales respecto de los vectores de norma unitaria en el $(0,0)$.
2. Decidir para qué valores de $n\in \mathbb {N}$ $f(x,y)$ es diferenciable en el $(0,0)$.

Ejercicio 2

Sea $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ tal que $F(x,y)=e^{x+2y}-x-2y$.

1. Encontrar la expresión del polinomio de Taylor de grado 2 para el punto $(0,0)$. Usarlo para estimar $f(0,1;0,1)$ y acotar el error cometido, sabiendo que $e^{0,3}<1,35$.
2. Hallar los puntos críticos de $F$ y determinar si son máximos, mínimos o puntos silla.
3. Determinar si $F$ tiene máximos y/o mínimos absolutos y, en caso de que los tenga, hallarlos.

Ejercicio 3

Demostrar que si $f:D\in \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ es diferenciable en $P\in D$, entonces es continua en dicho punto.

Ejercicio 4

Demostrar la Regla de Barrow.