Final 06/08/2013 (Álgebra I)

Ejercicio 3

Dado Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\left(x\right) = x^{3}+ax^{2}+bx+c} la suma de dos de sus raíces es igual a 0. Entonces Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ab=c}

Resolución

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\left(x\right) = \left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)\left(x-\delta\right) = x^{3}-(\alpha+\beta+\delta)x^{2}+(\alpha\beta+\alpha\delta+\beta\delta)x-\alpha\beta\delta \\ -a=\alpha+\beta+\delta \\ b=\alpha\beta+\alpha\delta+\beta\delta \\ -c=\alpha\beta\delta}

Sabemos que la suma de dos de sus raices es 0. Entonces Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=-\beta}

Reemplazamos y nos queda Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a=-\delta b=-\beta^{2} c=\beta^{2}\delta} Luego vemos que se verifica que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ab=c}

Ejercicio 4

Texto larguísimo. La cosa era mas o menos así. Tenemos menos de 600 monedas, en una cantidad par. Se las repartian en filas de a 17 y sobraban 8. Luego se repartían la mitad en filas de 7 y sobraban 3. ¿Cuantas monedas son?¿Pueden ser varias?

Resolución

Esos datos en concreto se resumen en (c representa a cantidad) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c\equiv0\left(2\right) c\equiv8\left(17\right) \left(\frac{c}{2}\right)\equiv3\left(7\right) = c\equiv6\left(7\right)} Luego aplicando TCR nos quedaba como solución x=238q+76 Y entonces las cantidades posibles son varias y menores que 600, van a ser: 76,314,552

2) Dado U un conjunto de n elementos y dados Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A,B \subseteq U} Y los siguientes valores: (Esto Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \star} va a representar el cardinal ya que el latex pincha con el numeral) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \star A \cap B = \frac{2n}{5} \star B = \frac{1n}{2} \star \left(A \cap B^{c}\right)^{c} = \frac{13n}{20}} Calcular Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle - \star A - \star A \bigtriangleup B} Resolución Primero que nada Esta cosa Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \star \left(A \cap B^{c}\right)^{c} = \frac{13n}{20}} es igual que decir Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \star \left(A-B\right)^{c}} Entonces Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \star A = \star U - \star \left(A-B\right)^{c} + \star A \cap B} Entonces Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \star A = n - \frac{13n}{20} + \frac{2n}{5} = \frac{3n}{4}} Ahora el otro Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \star A \bigtriangleup B = \star A + \star B - 2\left(\star A \cap B\right)} Entonces Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \star A \bigtriangleup B = \frac{3n}{4} + \frac{1n}{2} - 2\left(\frac{13n}{20n}\right) = \frac{9n}{20}}

1) La cantidad de relaciones simétricas que se pueden hacer dado un conjunto finito de n elementos. 5) Dados z,w raices n-esimas de la unidad probar que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (z+w)^n} pertenece a los reales.