Final 14/12/2010 (Análisis II)

Ejercicio 1

Sea $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$definida por: $f(x,y)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}&si(x,y)\neq (0,0),\\0&si(x,y)=(0,0).\end{matrix}}\right.$

• a) Probar que f es continua en $\mathbb {R} ^{2}$.
• b) Probar que para todo $v\in \mathbb {R} ^{2}$ tal que $\left\|v\right\|=1$, existe ${\frac {\partial f}{\partial v}}(0,0)$.
• c) Analizar en qué puntos de $\mathbb {R} ^{2}$ la función f es diferenciable.

Ejercicio 2

Sea $f:\mathbb {R} _{\geq 0}\to \mathbb {R}$ continua y derivable en $\mathbb {R} _{>0}$ tal que $f(0)=1$ y $|f'(x)|\leq {\frac {1}{2}}$ para todo $x>0$

a) Probar que la función $g(x)=x-f(x)$ es inyectiva.

b) Probar que existe un único $x_{0}\in \mathbb {R} _{>0}$ tal que $f(x_{0})=x_{0}$

Ejercicio 3

Para cada valor de $b\in \mathbb {R}$ encontrar el valor máximo y el valor mínimo que toma la función $f(x,y)={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {by^{2}}{2}}$ en el disco $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}/(x^{2}+y^{2})\leq 1\}$ .

Ejercicio 4

Sea $g:\mathbb {R} _{>}{-1}\to \mathbb {R}$ definida por $g(x)=\int _{-1}^{x}e^{-t^{2}}dt-\int _{-1}^{0}e^{-t^{2}}dt$

a) Probar que g es una función de clase $C^{2}$.

b) Probar que el polinomio de Taylor de orden 1 de g en $x_{0}=0$ es $P_{1}(x)=x$.

c) Encontrar $\delta >0$ tal que si $|x|<\delta$ el error que se comete al aproximar $g(x)$ por x sea a lo sumo ${\frac {1}{100}}$.

d) ¿Cuál es el polinomio de orden 2 de g en $x_{0}=0$?

Ejercicio 5

Encontrar todos los $p\in \mathbb {R}$ tales que existe Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \lim_{\epsilon \to 0} \iint_{\epsilon^2 \leq x^2+y^2 \leq 1}^{\: }(x^2+y^2)^p dxdy}