Diferencia entre revisiones de «Final 26/03/2016 (Álgebra I)»
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Final de Javier Etcheverry. | |||
Tiempo: 4 horas. | |||
==Ejercicio 1== | ==Ejercicio 1== | ||
¿Cuál es el máximo número de regiones determinadas por <math> n </math> rectas en el plano? | ¿Cuál es el máximo número de regiones determinadas por <math> n </math> rectas en el plano? | ||
| Línea 10: | Línea 13: | ||
Sea <math> p </math> un primo positivo: | Sea <math> p </math> un primo positivo: | ||
a) Demuestre que <math> {p \choose i} </math> es divisible por <math> p \ ; 1 \leq i < p </math> | *a) Demuestre que <math> {p \choose i} </math> es divisible por <math> p \ ; 1 \leq i < p </math> | ||
b) Deduzca que si <math> a,\ b \in \mathbb{Z}; \ ( | *b) Deduzca que si <math> a,\ b \in \mathbb{Z}; \ (a + b)^{p} \equiv a^{p} + b^{p} (mod \ p) </math> | ||
==Ejercicio 4== | ==Ejercicio 4== | ||
Revisión actual - 04:18 30 mar 2016
Final de Javier Etcheverry. Tiempo: 4 horas.
Ejercicio 1
¿Cuál es el máximo número de regiones determinadas por Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n } rectas en el plano?
Establecer una recurrencia, dar una formula explicita y demostrarla por inducción
Ejercicio 2
Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n \in \mathbb{N} } , Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n = 2^{k} } , probar que ω es una raíz primitiva Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} -ésima de la unidad Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \leftrightarrow } ω es raíz de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_{k} = X^{2^{k-1}} + 1 }
Ejercicio 3
Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p } un primo positivo:
- a) Demuestre que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {p \choose i} } es divisible por Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p \ ; 1 \leq i < p }
- b) Deduzca que si Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a,\ b \in \mathbb{Z}; \ (a + b)^{p} \equiv a^{p} + b^{p} (mod \ p) }
Ejercicio 4
Hallar todos los Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a \in \mathbb{Z} } tales que:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (3a^{98} - 5a^{50} + 4 : 140a) = 14 }
