Diferencia entre revisiones de «Final 03/03/2017 (Probabilidad y Estadística)»
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| Línea 6: | Línea 6: | ||
Sea (X,Y) un vector aleatorio con función de densidad conjunta: | Sea (X,Y) un vector aleatorio con función de densidad conjunta: | ||
<math>f_{XY}(x,y) = k(x^2+y^2) | <math>f_{XY}(x,y) = k(x^2+y^2) 1_{\{20 \leq x \leq 30, 20 \leq y \leq 30\}}</math> | ||
# ¿Cuál es el valor de k? | # ¿Cuál es el valor de <math>k</math>? | ||
# ¿Cuál es la probabilidad de que tanto <math>X</math> como <math>Y</math> sean menores que 26? | # ¿Cuál es la probabilidad de que tanto <math>X</math> como <math>Y</math> sean menores que <math>26</math>? | ||
# ¿Cuál es la probabilidad de que <math>max(X,Y) \leq 26</math>? | # ¿Cuál es la probabilidad de que <math>\max(X,Y) \leq 26</math>? | ||
# Hallar <math>f_X</math> y <math> | # Hallar <math>f_X</math> y <math>f_Y</math>, las funciones de densidad marginales. | ||
=== Ejercicio 2 (30 puntos) === | === Ejercicio 2 (30 puntos) === | ||
Revisión actual - 01:03 14 jul 2021
Tomado por Matthieu Jonckheere. Se aprueba con un 4. Duró 4 horas. Se podían usar las tablas de distribuciones y el resumen de distribuciones disponibles en la página de la materia.
Ejercicio 1 (20 puntos)
Sea (X,Y) un vector aleatorio con función de densidad conjunta:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_{XY}(x,y) = k(x^2+y^2) 1_{\{20 \leq x \leq 30, 20 \leq y \leq 30\}}}
- ¿Cuál es el valor de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} ?
- ¿Cuál es la probabilidad de que tanto Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} como Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y} sean menores que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 26} ?
- ¿Cuál es la probabilidad de que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \max(X,Y) \leq 26} ?
- Hallar Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_X} y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_Y} , las funciones de densidad marginales.
Ejercicio 2 (30 puntos)
- Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} una variable aleatoria con distribución exponencial de parámetro Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} . Calcular su función generadora de momentos.
- Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N} una variable aleatoria con distribución geométrica de parámetro Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p} . Calcular su función generadora de momentos.
- Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (X_i)} una secuencia de variables aleatorias con distribución exponencial de parámetro Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N} una variable aleatoria con distribución geométrica de parámetro Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p} independiente de los Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (X_i)} . Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Z=\sum_{i=1}^{N} X_i} . Calcular la función generadora de momentos de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Z} .
- Deducir de 3. la distribución de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Z} .
Ejercicio 3 (25 puntos)
Se supone que 1 de cada 10 fumadores prefiere la marca A. Después de una campaña publicitaria en cierta región de ventas, se entrevistó a 200 fumadores para determinar la efectividad de la campaña. El resultado de esta encuesta mostró que 26 personas preferían la marca A.
- ¿Indican estos datos, a nivel aproximado 0.05, un aumento en la preferencia por la marca A?
- Calcular el p-valor.
- ¿Cuál es la probabilidad aproximada de decidir que la campaña publicitaria no fue efectiva, cuando en realidad la proporción de preferencia por la marca A después de la campaña es 0.15?
- ¿Qué tamaño de muestra debería tomarse para que la probabilidad de 3. fuese a lo sumo 0.05?
Ejercicio 4 (25 puntos)
Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X_1,...,X_n} una muestra aleatoria de una distribución Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U[0,\theta]} .
- Probar que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \max_{1≤i≤n} X_i} es el estimador de máxima verosimilitud de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} .
- Calcular el estimador de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} basado en el primer momento.
- Decir si los estimadores obtenidos son insesgados o asintóticamente insesgados, y consistentes. Justificar
Bonus (15 puntos)
Dar la definición de un proceso de Markov (en un espacio discreto) reversible.
