Final 14/06/2019 (Probabilidad y Estadística)

Criterio de aprobaci ́on: El examen consta de dos partes A y B. En la Parte A, cada ejercicio resuelto correctamentesuma un punto. En la Parte B, el ejercicio suma 5 puntos. El final se aprueba con 6 puntos y NO podra sumar mas de 5 puntos de cada parte

Parte A

Ejercicio 1

Se tiene una urna con cuatro pelotitas negras y tres rojas. Se quitan tres sin reposición.

1. Dar la probabilidad de que la primera haya sido negra y la tercera roja.
2. Si se sabe que la tercera fue roja. Cual es la probabilidad de que la segunda haya sido negra?.

Ejercicio 2

Sean $X$, $Y$ dos variables aleatorias independientes con distribuciones $X\sim {\mathcal {P}}(\lambda )$, $Y\sim {\mathcal {P}}(\mu )$. Demostrar que $X+Y\sim {\mathcal {P}}(\lambda +\mu )$

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Posible resolución

$P(X+Y=k)=P(X=k-Y){\overset {\overset {\text{Proba total}}{\downarrow }}{=}}\sum \limits _{i=0}^{k}P(X=k-Y|Y=i)P(Y=i)=\sum \limits _{i=0}^{k}P(X=k-i|Y=i)P(Y=i){\overset {\overset {\perp \!\!\!\perp }{\downarrow }}{=}}\sum \limits _{i=0}^{k}P(X=k-i)P(Y=i)=\sum \limits _{i=0}^{k}\left({\frac {\lambda ^{k-i}}{(k-i)!}}e^{-\lambda }\right)\left({\frac {\mu ^{i}}{(i)!}}e^{-\mu }\right)=e^{-(\lambda +\mu )}\sum \limits _{i=0}^{k}{\frac {\lambda ^{k-i}}{(k-i)!}}{\frac {\mu ^{i}}{(i)!}}=e^{-(\lambda +\mu )}\sum \limits _{i=0}^{k}{\frac {\lambda ^{k-i}}{(k-i)!}}{\frac {\mu ^{i}}{(i)!}}{\frac {k!}{k!}}={\frac {1}{k!}}e^{-(\lambda +\mu )}\sum \limits _{i=0}^{k}{\frac {k!}{(k-i)!i!}}\lambda ^{k-i}\mu ^{i}={\frac {1}{k!}}e^{-(\lambda +\mu )}\sum \limits _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}\lambda ^{k-i}\mu ^{i}={\frac {(\lambda +\mu )^{k}}{k!}}e^{-(\lambda +\mu )}\sim {\mathcal {P}}(\lambda +\mu )$

Ejercicio 3

Sean $X_{1},\dots ,X_{n}$, $Y_{1},\dots ,Y_{n}$ variables aleatorias independientes. Siendo $X_{i}$ con distribucion geometrica de parametro $p$ y $Y_{i}$ con distribucion normal de media 0 y varianza 1. Dar el valor limite de:

${\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=0}^{n}X_{i}\ \mathbb {I} _{\{Y_{i}>0\}}$

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Posible resolución

Sea $Z_{i}=X_{i}\mathbb {I} _{\{Y_{i}>0\}}$ Yo se que si ${\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=0}^{n}$ converge en probabilidad, lo hace a su esperanza por la Ley de Grandes Numeros:

${\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=0}^{n}{\overset {p}{\longrightarrow }}E[Z]$

Si se cumple que $V[Z]<\infty$. Primero encuentro la esperanza y despues me preocupo por eso.

$E[Z]=E[X\ \mathbb {I} _{\{Y>0\}}]{\overset {\overset {\perp \!\!\!\perp }{\downarrow }}{=}}E[X]E[\mathbb {I} _{\{Y>0\}}]={\frac {1}{p}}E[\mathbb {I} _{\{Y>0\}}]={\frac {1}{p}}P(Y>0){\overset {\overset {Y\sim {\mathcal {N}}(0,1)}{\downarrow }}{=}}{\frac {1}{2p}}$

Para ver que la varianza es finita tengo que estudiar $E[Z^{2}]=E[X^{2}\ \cdot \ \left(\mathbb {I} _{\{Y>0\}}\right)^{2}]=E[X^{2}]\ E[\left(\mathbb {I} _{\{Y>0\}}\right)^{2}]$ Yo se que la varianza de una geometrica es finita asi que el primer termino se puede calcular facil y es finito (Da $(2-p)/p^{2}$). Para el otro termino notemos que $\left(\mathbb {I} _{\{Y>0\}}\right)^{2}=\mathbb {I} _{\{Y>0\}}\cdot \mathbb {I} _{\{Y>0\}}=\mathbb {I} _{\{Y>0\}}$ Porque multiplicar dos veces la misma indicadora no aporta nada, entonces ya esta calculada la $E[Z^{2}]$ y entonces la $V[Z]=E[Z^{2}]-E^{2}[Z]$ se puede calcular y da finita. Entoces puedo usar LGN, y el limite da lo que ya calcule arriba.

Ejercicio 4

Sea $\{S_{n}\}_{n\geq 1}$ una sucesion de variables aleatorias tal que $S_{n}\sim \Gamma (n,\lambda )$. Demuestre que

${\frac {S_{n}-n/\lambda }{{\sqrt {n}}/\lambda }}$

Converge en distribucion a una normal e indique con que parametros.

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Posible resolución

Primero hay que saber que decir que algo converge en distribucion es lo mismo a decir que $\lim _{n\to \infty }F_{X_{n}}=F_{X}$ en todo punto donde la acumulada es buena. Es lo mismo que decir que las generadoras de momentos convergen (i.e. $\lim _{n\to \infty }M_{X_{n}}=M_{X}$).

Con esto voy a usar la generadora de momentos de la distribucion $\Gamma (n,\lambda )$ que es $M_{X}(t)=\left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{n}$

$M_{\frac {S_{n}-n/\lambda }{{\sqrt {n}}/\lambda }}(t)=$ $e^{-{\sqrt {n}}}M_{\frac {S_{n}}{{\sqrt {n}}/\lambda }}(t)=$ $e^{-{\sqrt {n}}}M_{S_{n}}(t\lambda /{\sqrt {n}})=$ $e^{-{\sqrt {n}}}\left({\frac {\lambda }{\lambda -{\frac {t\lambda }{\sqrt {n}}}}}\right)^{n}=$ $e^{-{\sqrt {n}}}\left({\frac {1}{1-{\frac {t}{\sqrt {n}}}}}\right)^{n}=$

Si $\lim _{n\to \infty }M_{X_{n}}=M_{X}$ entonces $\lim _{n\to \infty }\log(M_{X_{n}})=\log(M_{X})$ pues es una funcion biyectiva en su dominio, entonces le tomo logaritmo a lo anterior

$\log \left(e^{-{\sqrt {n}}}\left({\frac {1}{1-{\frac {t}{\sqrt {n}}}}}\right)^{n}\right)=$ $-{\sqrt {n}}+n\log \left({\frac {1}{1-{\frac {t}{\sqrt {n}}}}}\right)=$ $-{\sqrt {n}}+n\left[-\log \left(1-{\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\right]=$ $-{\sqrt {n}}-n\log \left(1-{\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)=$

Aqui hay que recordar (O saber hacer...) la expansion de Taylor para x<<1 $\log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\mathcal {O}}(x^{3})$

$-{\sqrt {n}}-n\log \left(1-{\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\approx -{\sqrt {n}}-n\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}-{\frac {t^{2}}{2n}}\right)$

Entonces queda que

$\lim _{n\to \infty }M_{S_{n}}=\lim _{n\to \infty }\exp \left(-{\sqrt {n}}(1+t)+{\frac {t^{2}}{2}}\right)=\exp \left({\frac {t^{2}}{2}}\right)=M_{Z}(t),Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$

Quedo demostrado entonces la convergencia en distribucion de la funcion original a una normal con media cero y varianza uno.

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Edit: Solución alternativa.

Desconozco si durante el examen se informó que no se podía usar TCL, pero en caso de que se pueda una solución alternativa y directa sería:

Notar que como $S_{n}\sim \Gamma (n,\lambda )$:

$E(S_{n})={\frac {n}{\lambda }},SD(S_{n})={\frac {\sqrt {n}}{\lambda }}$

Entonces, ${\frac {S_{n}-n/\lambda }{{\sqrt {n}}/\lambda }}$ es una estandarización de $S_{n}$ y por Teorema Central del Límite ${\frac {S_{n}-n/\lambda }{{\sqrt {n}}/\lambda }}{\overset {d}{\longrightarrow }}Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$

Ejercicio 5

Sea $X_{1},\dots ,X_{n}$ una muestra de variables aleatorias con distribucion ${\mathcal {U}}(1,\theta )$. Dar el estimador de maxima verosimilitud de $q(\theta )=\theta (1-\theta )$. Es consistente?

Ejercicio 6

Construya un intervalo de confianza de nivel $1-\alpha$ para el parametro $p$ de una $Bi(2,p)$ basado en una muestra $X_{1},\dots ,X_{n}$. Especifique si el intervalo propuesto es asintotico o exacto.

Parte B

1. Sea $X_{1},\dots ,X_{n}$ una muestra aleatoria con media $\mu$ desconocida y varianza $\sigma ^{2}$ desconocida. Considere las hipotesis $H_{0}:\{\mu =\mu _{0}\}$, $H_{1}:\{\mu <\mu _{0}\}$. Proponga un test de nivel $\alpha$. Defina error de tipo I y error de tipo II. Halle una expresion para la funcion de potencia en funcion de alguna distribucion conocida.
2. Proponga un ejercicio (Solo el enunciado, no lo resuelva) cuya resolucion requiera testear las hipotesis anteriores.