Final 13/11/2023 (Análisis II)

Ejercicio 1 Sea la superficie $E=x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ y el plano $\pi :z=ax$.

a) Hallar parametrizacion de $C=E\cap \pi$.

b) Hallar todos los valores $a\in R$ tal que la recta tangente a C en el punto (0,1,0) sea t(-2,0,2)+(0,1,0).

Ejercicio 2 Sea $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$, C2, su polinomio de Taylor de orden 2 en (1,1) es $P(x,y)=ax^{2}+2y-bx+c$. Y sea $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}/g(t)=(t+1,2t^{3}+1)$ Hallar $a,b,c\in R$ tal que el polinomio de Taylor de orden 2 de $fog$ en (t=0) sea $Q(t)=4t^{2}+3t+3$

Ejercicio 3 Hallar maximos y minimos absolutos de $f(x,y)=x^{2}-y^{2}$ en la region $D=\lbrace (x,y)\in R^{2}/x^{2}+y^{2}\leq 1,x\geq y\rbrace$.

Ejercicio 4 Calcular el volumen del solido $W=\lbrace x^{2}+y^{2}=z^{2},x^{2}+y^{2}=z,0\leq z\leq 1,x\geq 0\rbrace$.