Diferencia entre revisiones de «Final 21/12/2012 (Álgebra I)»
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==Ejercicio 1== | ==Ejercicio 1== | ||
Sea <math>F_n</math> la sucesión de Fibonacci: | Sea <math>F_n</math> la sucesión de Fibonacci: | ||
<math>F_0=0</math>, <math>F_1=1</math>, <math>F_{n+1}=F_n+ | <math>F_0=0</math>, <math>F_1=1</math>, <math>F_{n+1}=F_n+F_{n-1} (n\geq 1)</math> | ||
a) Sean <math>a,b\in \mathbb{Z} </math> no ambos nulos. Probar que para <math>n\geq 0</math> se tiene | a) Sean <math>a,b\in \mathbb{Z} </math> no ambos nulos. Probar que para <math>n\geq 0</math> se tiene | ||
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<math>(G_na+G_{n+1}b:G_{n+1}a+G_{n+2}b)=(a:b) (n\geq 0)</math> | <math>(G_na+G_{n+1}b:G_{n+1}a+G_{n+2}b)=(a:b) (n\geq 0)</math> | ||
==Ejercicio 2== | ==Ejercicio 2== | ||
a) Sea <math>f \in Q[x]</math>, <math>gr(f)=5</math> tal que <math>1+sqrt{2}</math> y <math>3+sqrt{3}</math> son raíces de ''f''. Probar que ''f'' tiene una raíz racional. | a) Sea <math>f \in Q[x]</math>, <math>gr(f)=5</math> tal que <math>1+\sqrt{2}</math> y <math>3+\sqrt{3}</math> son raíces de ''f''. Probar que ''f'' tiene una raíz racional. | ||
b) Encontrar un polinomio <math>g \in Q[x]</math> de grado 5 con raíz <math>1+sqrt{2}</math> pero sin raíces racionales. | b) Encontrar un polinomio <math>g \in Q[x]</math> de grado 5 con raíz <math>1+\sqrt{2}</math> pero sin raíces racionales. | ||
==Ejercicio 3== | ==Ejercicio 3== |
Revisión actual - 21:40 10 dic 2019
Ejercicio 1
Sea la sucesión de Fibonacci: , ,
a) Sean no ambos nulos. Probar que para se tiene
Encontrar otra sucesión tal que:
Ejercicio 2
a) Sea , tal que y son raíces de f. Probar que f tiene una raíz racional.
b) Encontrar un polinomio de grado 5 con raíz pero sin raíces racionales.
Ejercicio 3
Probar que si p y q son primos distintos y si a es coprimo con pq, entonces es congruente a 1 (mod pq)
Ejercicio 4
Dado ,. Probar que si n y m son coprimos,
es biyectiva.
Ejercicio 5
Encontrar todos los enteros que son divisibles por 8, tales que su desarrollo en base 7 tiene al menos 3 dígitos iguales.