Final del 01/08/18 (Algoritmos III)

Final escrito de Paula Zabala. Eramos tres. Así que tampoco se confíen con que n grande Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow} escrito. A lo sumo será: n grande Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Rightarrow} escrito.

Enunciados

Ejercicio 1

a) Nombrar las técnicas algorítmicas vistas en la materia.

b) Describir alguna de ellas

Ejercicio 2

Modificaciones del algoritmo de Dijkstra:

a) para contar el número de caminos mínimos de v a w

b) para que de todos los caminos mínimos, se elija el de menor número de aristas.

Ejercicio 3

Dado un grafo G=(V,X) con una función de costo definida sobre sus airstas, Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l: X \rightarrow R } . Probar que si Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \exists e \in X} tal que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l(e) < l(e'), \forall e' \in X \backslash \{e\} } , entonces Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e} pertenece a todo árbol generador mínimo de GError al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle }

Ejercicio 4

Un grafo G es coloreable en forma única si todo coloreo con Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \chi(G)} colores induce la misma partición de los vértices. Mostrar que si G es coloreable en forma única, el subgrafo inducido por dos conjuntos cualesquiera de la partición inducida por los Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \chi(G)} -colores es un subgrafo conexo.

Ejercicio 5

Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar.

• a) Si todos los arcos de una rede tienen diferentes capacidades, la red tiene un único corte mínimo.
• b) Si se multiplican las capacidades de todos los arcos por Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda > 0} , el o los cortes mínimos no cambian.
• c) Si se multiplican las capacidades de todos los arcos por Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda > 0} , el valor del o de los cortes mínimos no cambia
• d) Si se suma a las capacidades de todos los arcos Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda > 0} , el o los cortes mínimos no cambia.
• e) Si se suma a las capacidades de todos los arcos Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda > 0} , el valor del o de los cortes mínimo no cambia.

Ejercicio 6

• a) ¿cuando un problema pertenece a la clase P?
• b) ¿cuando un problema pertenece a la clase NP?
• c) ¿cuando un problema pertenece a la clase NP-C?
• d) ¿Qué es una reducción polinomial de un problema de decisión Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Pi_1} a uno Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Pi_2} ?
• e) Demostrar que el problema de conjunto independiente máximo (versión desición) pertenece a la clase NP.
• f) En la práctica, ¿cómo se demuestra que un problema pertenece a la clase NP-C? Justificar.
• g) Enunciar 5 problemas estudiados en la materia que sean P y 5 que sean NP-C.

Soluciones

Ejercicio 3

idea

Hacer un absurdo, suponer que existe un T Arbol Generador Mínimo que no contiene esa arista y luego mostrar que existe un árbol menor que la arista.

Ejercicio 4

Absurdo de nuevo.

Tomar dos conjuntos Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} de la partición inducida Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} .

Suponer que no son conexos.

Pero entonces se les puede asignar el mismo color pues entre ellos no hay adyacencias en el grafo original y con el resto de los vértices no hay problemas pues pertenecen a otro conjunto, es decir tenían otro color.

Entonces existe un coloreo que induce una partición Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P'} tal que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\cup B \in P'} pero Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\cup B \not\in P} , absurdo, la partición era única.

El absurdo provino de suponer que *no* son conexos ergo deben serlo.

Ejercicio 5

a) F b) V c) F d) F e) F

a

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=\{s\}, S'=\{s, a, b\}}

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c(S) = 3, c(S') = 1+2 = 3}

todas las aristas tienen distintas capacidades y sin embargo hay más de un corte mínimo.

b,c

usando la definición, un corte mínimo S es aquel tal que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c(S) \leq c(S')} con Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S'} cualquier otro corte mínimo.

Entonces se puede escribir esta condición:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum\limits_{e \in SS_c} c(e) \leq \sum\limits_{e' \in S'S_c'} c(e') }

con Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_c = V\backslash S} es decir, el complemento.

si multiplicamos por una constante mayor que cero, no cambia nada:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum\limits_{e \in SS_c} \lambda c(e) \leq \sum\limits_{e' \in S'S_c'} \lambda c(e') }

por distributiva:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda \sum\limits_{e \in SS_c} c(e) \leq \lambda \sum\limits_{e' \in S'S_c'} c(e') }

por ser != 0

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum\limits_{e \in SS_c} c(e) \leq \sum\limits_{e' \in S'S_c'} c(e') }

Si bien, la desigualdad no cambia, el valor de cada corte mínimo, si.

d, e

Planteamos lo mismo que en b pero esta vez ...

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum\limits_{e \in SS_c} c(e) + \lambda \leq \sum\limits_{e' \in S'S_c'} c(e') + \lambda }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum\limits_{e \in SS_c} c(e) + \sum\limits_{e \in SS_c} \lambda \leq \sum\limits_{e' \in S'S_c'} c(e') + \sum\limits_{e' \in S'S_c'} \lambda }

es decir, se suman las constantes, tantas veces como aristas hay en los conjuntos Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle SS_c \text{y} S'S_c'} respectivamente.

entonces podemos re escribir:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum\limits_{e \in SS_c} c(e) - \sum\limits_{e' \in S'S_c'} c(e') \leq |S'S_c'|\lambda - |SS_c|\lambda }

si llamamos dc a la diferencias de las capacidades, a la parte izquierda de la inecuación:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\text{dc}}{\lambda} \leq |S'S_c'| - |SS_c| }

Tenemos una condición para saber cuando un corte puede dejar de ser mínimo al sumar las capacidades por una constante mayor a 0.

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\text{dc}}{\lambda} > |S'S_c'| - |SS_c| }

es decir, si encontramos una constante que no compence la diferencia en capacidades vs la diferencia de aristas para un corte mínimo y algún otro corte cualquiera, vamos a tener un cambio en el orden y por lo tanto al menos Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S} dejará de ser un corte mínimo.