Proba Practica 0

La Práctica 0 de Probabilidades y Estadística consiste en un repaso de técnicas de conteo estudiadas en Álgebra I.

Ejercicio 1

Punto a

Enunciado: ¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3?

Resolución: Dado que puedo tomar tres números diferentes tanto para el primer dígito como para el segundo, por cada dígito que ponga en la primera posición tendré tres opciones para el de la segunda.

Respuesta: 3 x 3 = 9

Punto b

Enunciado: ¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2? (Recuerde, un número no puede empezar con 0)

Resolución: Los números que puedo formar solo podrán tener en su primera posición 1 o 2, mientras que en la segunda podrán tener cualquiera de los tres números. Por cada dígito que elija para las decenas puedo elegir otros tres para las unidades.

Respuesta: 2 x 3 = 6

Punto c

Enunciado: ¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3?

Resolución: Los números que puedo formar solo podrán tener en su primera posición 1, 2 o 3, mientras que en la segunda podrán tener cualquiera de los cuatro números. Por cada dígito que elija para las decenas puedo elegir otros cuatro para las unidades.

Respuesta: 3 x 4 = 12

Punto d

Enunciado: ¿Cuántos números pares de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4?

Resolución: En la primera posición, en la segunda y en la tercera podré poner cualquiera de los cuatro números, sin importar que se repitan. En la cuarta, sin embargo, solo podré colocar 2 o 4 para que el número formado sea par.

Respuesta: 4 x 4 x 4 x 2 = 128

Punto e

Enunciado: ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4?

Resolución: Dado que en cada cifra tengo que tener un dígito distinto, cada vez que uso un dígito para una cifra, la cantidad de dígitos que tengo disponibles para poner en la siguiente se reduce en uno, porque hay uno que "ya lo usé".

Respuesta: 4 x 3 x 2 x 1 = 4!

Punto f

Enunciado: ¿Cuántos números capicúas de cinco cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

Resolución: Que el número sea capicúa de cinco cifras implica que la primera y la quinta cifra serán iguales, la segunda y la cuarta también, y la tercera podrá ser cualquier número. Siendo esto así, lo que se nos pide entonces es averiguar cuántos números de tres cifras distintas puedo formar con los números provistos. Cada vez que use un dígito, ya no estará disponible para la siguiente cifra, por lo que mis opciones se reducen en uno.

Respuesta: 7 x 6 x 5 = 7! / 4!

Punto g

Enunciado: Una habitación tiene 6 puertas, ¿de cuántas maneras puedo entrar por una puerta y salir por la otra?

Resolución: El problema nos plantea un cuarto al que debemos ingresar por una puerta y, una vez dentro, elegir otra puerta por la que salir, distinta a la original. Dado que puedo entrar por seis puertas diferentes, me quedan solo cinco puertas por las que optar por salir.

Respuesta: 6 x 5 = 30

Punto h

Primer enunciado: Sean A, B y C tres ciudades distintas. Suponga que hay cuatro rutas distintas que unen a A con B y seis que unen a B con C. ¿Cuántas rutas existen de A a C pasando por B?

Resolución: Quiero encontrar la cantidad de caminos posibles que me permitan llegar a C partiendo de A, pasando por B. Para ir de A hasta B puedo elegir cualquiera de las cuatro rutas entre A y B, y luego para ir de B hasta C puedo elegir cualquiera de las seis rutas que las unen.

Respuesta: 4 x 6 = 24

Segundo enunciado: ¿Cuántas rutas de ida y vuelta existen que vayan de A a C pasando por B?

Resolución: Partiendo del enunciado anterior, ahora quiero saber cuántas rutas hay desde A hasta C, pasando por B, ida y vuelta. Es decir, tengo que escoger dos rutas entre A y B (una para la ida y una para la vuelta) y dos rutas entre B y C (una para la ida y otra para la vuelta). Nada nos impide que las rutas elegidas para ambos trechos del camino sean la misma ruta.

Respuesta: 4 x 6 x 6 x 4 = 576

Ejercicio 2

Punto a

Primer enunciado: ¿Cuántos resultados pueden obtenerse al arrojar una moneda tres veces?

Resolución: El problema nos pregunta cuántos resultados, tomados como una 3-upla de elementos (por ejemplo "cara, cara, ceca", "ceca, ceca, cara", etc.), y no por cada elemento individual (que sería muy obvio ya que una moneda tiene solo dos posibles resultados). Por cada tirada de moneda puedo obtener cara o ceca. Por cada resultado obtenido, la siguiente tirada tiene dos posibilidades más y la tercera otras dos.
Nota: el problema habla de n-uplas porque es el mismo elemento lanzado varias veces. Si se hubiera lanzado dos dados en lugar del mismo dado dos veces, el orden de los resultados no habría tenido importancia y el resultado se habría tornado más complejo.

Respuesta: 2 x 2 x 2 = 8

Segundo enunciado: ¿Y si se lanza un dado de seis caras dos veces?

Resolución: El problema es el mismo que el del primer enunciado pero ahora con seis resultados posibles por tirada en lugar de dos.

Respuesta: 6 x 6 = 36

Punto b

Primer enunciado: ¿Cuántos números con cifras distintas, elegidas entre los dígitos 1 a 6, tienen la siguiente propiedad: tienen cinco cifras?

Resolución: Como los números han de tener cifras distintas, caemos en un problema similar al encontrado en el ejercicio 1.e. En cada posición puedo poner un número del 1 al 6, pero una vez colocado no puedo usarlo en las cifras siguientes.

Respuesta: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 6!

Segundo enunciado: ¿Cuántos números con cifras distintas, elegidas entre los dígitos 1 a 6, tienen la siguiente propiedad: tienen cinco cifras y comienzan con 36?

Resolución: La lógica es igual a la del enunciado anterior, pero con los primeros dos números fijos en 36, con lo cual estos números no podrán ser usados nuevamente. Nos quedan, entonces, para las posiciones tercera, cuarta y quinta, cuatro números: 1, 2, 4 y 5. Dado que no puedo repetirlos, en la tercera posición puedo poner cuatro, en la cuarta tres y en la quinta dos.

Respuesta: 4 x 3 x 2 = 4!

Tercer enunciado: ¿Cuántos números con cifras distintas, elegidas entre los dígitos 1 a 6, tienen la siguiente propiedad: tienen cinco cifras y no comienzan con 1?

Resolución: Esta clase de problemas conviene pensarlos por su complemento. Yo sé que la cantidad de números de cinco cifras construibles que no comienzan en 1 será la cantidad total de números de cinco cifras menos la cantidad de aquellos que SÍ comiencen en 1. De esta forma, el problema se resuelve de forma mucho más sencilla. Tengo un total de 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 6! números de cinco cifras no repetidas formables con los dígitos de 1 a 6. Luego, que comiencen con 1 hay 5 x 4 x 3 x 2 = 5!. El resultado es la resta de estos dos números.

Respuesta: 6! - 5! = 600

Punto c

Primer enunciado: Se arrojan dos dados, uno rojo y otro blanco: ¿Cuántos resultados distintos hay?

Resolución: Tengo seis resultados posibles para el primer dado y otros seis para el segundo. Los tiro juntos, pero al ser los dados distintos, tengo seis posibilidades para el primero y seis para el segundo, dando lugar al resultado.

Respuesta: 6 x 6 = 36

Segundo enunciado: Se arrojan dos dados, uno rojo y otro blanco: ¿Cuántos resultados distintos hay en que la suma es mayor a 9?

Resolución: Los resultados serán mayores a 9 cuando el primer dado sea 6 y el segundo cualquier valor mayor o igual a 4, cuando el primero sea 5 y el segundo cualquier valor mayor o igual a 5, o cuando el primero sea 4 y el segundo 6. Y viceversa. Debemos descontar, sin embargo, los casos repetidos: Rojo 6, Blanco 6 lo estamos contando dos veces. Rojo 5, Blanco 5 lo estamos contando dos veces. Rojo 4, Blanco 4 lo estamos contando dos veces. El resultado es la suma de los primeros casos y lo segundos, menos la totalidad de los casos repetidos.

Respuesta: 6 + 6 - 3 = 9