Final 14/06/2019 (Probabilidad y Estadística)

Criterio de aprobaci ́on: El examen consta de dos partes A y B. En la Parte A, cada ejercicio resuelto correctamentesuma un punto. En la Parte B, el ejercicio suma 5 puntos. El final se aprueba con 6 puntos y NO podra sumar mas de 5 puntos de cada parte

Parte A

Ejercicio 1

Se tiene una urna con cuatro pelotitas negras y tres rojas. Se quitan tres sin reposicion.

1. Dar la probabilidad de que la primera halla sido negra y la tercera roja.
2. Si se sabe que la tercera fue roja. Cual es la probabilidad de que la segunda halla sido negra?.

Ejercicio 2

Sean $X$, $Y$ dos variables aleatorias independientes con distribuciones $X\sim {\mathcal {P}}(\lambda )$, $Y\sim {\mathcal {P}}(\mu )$. Demostrar que $X+Y\sim {\mathcal {P}}(\lambda +\mu )$

Posible resolución

$P(X+Y=k)=P(X=k-Y)=\sum \limits _{i=0}^{k}P(X=k-Y|Y=i)P(Y=i)=\sum \limits _{i=0}^{k}P(X=k-i|Y=i)P(Y=i)=\sum \limits _{i=0}^{k}P(X=k-i)P(Y=i)=\sum \limits _{i=0}^{k}\left({\frac {\lambda ^{k-i}}{(k-i)!}}e^{-\lambda }\right)\left({\frac {\mu ^{i}}{(i)!}}e^{-\mu }\right)=e^{-(\lambda +\mu )}\sum \limits _{i=0}^{k}{\frac {\lambda ^{k-i}}{(k-i)!}}{\frac {\mu ^{i}}{(i)!}}=e^{-(\lambda +\mu )}\sum \limits _{i=0}^{k}{\frac {\lambda ^{k-i}}{(k-i)!}}{\frac {\mu ^{i}}{(i)!}}{\frac {k!}{k!}}={\frac {1}{k!}}e^{-(\lambda +\mu )}\sum \limits _{i=0}^{k}{\frac {k!}{(k-i)!i!}}\lambda ^{k-i}\mu ^{i}={\frac {1}{k!}}e^{-(\lambda +\mu )}\sum \limits _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}\lambda ^{k-i}\mu ^{i}={\frac {(\lambda +\mu )^{k}}{k!}}e^{-(\lambda +\mu )}\sim {\mathcal {P}}(\lambda +\mu )$

Ejercicio 3

Sean $X_{1},\dots ,X_{n}$, $Y_{1},\dots ,Y_{n}$ variables aleatorias independientes. Siendo $X_{i}$ con distribucion geometrica de parametro $p$ y $Y_{i}$ con distribucion normal de media 0 y varianza 1. Dar el valor limite de:

${\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=0}^{n}X_{i}\ \mathbb {I} _{\{Y_{i}>0\}}$

Ejercicio 4

Sea $\{S_{n}\}_{n\geq 1}$ una sucesion de variables aleatorias tal que $S_{n}\sim \Gamma (n,\lambda )$. Demuestre que

${\frac {S_{n}-n/\lambda }{{\sqrt {n}}/\lambda }}$

Converge en distribucion a una normal e indique con que parametros.

Ejercicio 5

Sea $X_{1},\dots ,X_{n}$ una muestra de variables aleatorias con distribucion ${\mathcal {U}}(1,\theta )$. Dar el estimador de maxima verosimilitud de $q(\theta )=\theta (1-\theta )$. Es consistente?

Ejercicio 6

Construya un intervalo de confianza de nivel $1-\alpha$ para el parametro $p$ de una $Bi(2,p)$ basado en una muestra $X_{1},\dots ,X_{n}$. Especifique si el intervalo propuesto es asintotico o exacto.

Parte B

1. Sea $X_{1},\dots ,X_{n}$ una muestra aleatoria con media $\mu$ desconocida y varianza $\sigma ^{2}$ desconocida. Considere las hipotesis $H_{0}:\{\mu =\mu _{0}\}$, $H_{1}:\{\mu <\mu _{0}\}$. Proponga un test de nivel $\alpha$. Defina error de tipo I y error de tipo II. Halle una expresion para la funcion de potencia en funcion de alguna distribucion conocida.
2. Proponga un ejercicio (Solo el enunciado, no lo resuelva) cuya resolucion requiera testear las hipotesis anteriores.