Práctica 7 (LyC Verano)

Ejercicio 05

Si definimos la funcion la suma como f(x,y) = x + y + 1.
Esto cumple los axiomas dados, pero sin embargo es evidente que no cumple con la suma en los naturales.

Ejercicio 06

a)

Si tomamos φi = "El modelo tiene al menos i elementos", un posible conjunto es Γ={φ1,φ2,φ3,..}

b)

Sup. que es posible. Si tomamos Γ={φ1,φ2,φ3,..}, por compacidad, existe un subconjunto finito satisfacible. Sea φ' = "El dominio es finito". Entonces si tomamos por ej. {φ1,φ2}U{φ'}, es satisfacible ya que hay modelos que lo hacen valido. Pero si tomamos ΓU{φ'}, estamos diciendo que el dominio es finito, pero al ser Γ infinito, es satisfacible si tiene infinitos elementos. Por lo tanto llegamos a un ABS

Ejercicio 08

Si extendemos nuestro modelo con un c y un d que representan numeros/nodos arbitrarios y tomamos
φi = "No hay un camino de longitud i entre c y d".
longitud dos en primer orden se escribiria:
¬(Existe x)(R(c,x) Y R(x,d))
Y se puede generalizar facilmente para mostrar que es posible escribirlo en primer orden.
Luego definimos lo que queremos probar que no es expresable.
Sea
ψ = "Entro todo par de nodos hay un camino de longitud finita" Sea Γ = {φ1,φ2,φ3,..} U {ψ} un conjunto infinito. Sabemos que cualquier subconjunto finito que eligamos de Γ es satisfacible. (Ya que si bien podria no haber camino de longitud Maximo entre todos los φi elegidos, podria haber uno de longitud i+1. Entonces por compacidad Γ es satisfacible. Absurdo porque si no tienen camino de ninguna longitud los nodos c y d , luego no podemos decir que entre todo par d nodos hay un camino de longitud finita. Absurdo que provino d pensar que ψ era expresable.

Ejercicio 10

a)

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \neg (\forall x \exists y P(x, y) \rightarrow \exists y \forall xP(x, y)) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall x \exists y P(x, y) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \neg \exists y \forall x P(x, y) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \exists y P(a1, y) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(a1, b) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \neg\forall x P(x, b) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \neg P(a2, b)}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \exists y P(a2, y) }
...

Con lo cual la rama queda saturada, por lo que la negacion es satisfacible

b)

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( \exists y \forall x P(x, y)) \wedge \neg(\forall x \exists y P(x, y)) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \exists y \forall x P(x, y) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \neg\forall x \exists y P(x, y) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall x P(x, a) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \neg \exists y P(b, y) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(b, a) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \neg P(b, a) }
×

Ejercicio 12

a)

Si
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \neg ( \forall x \exists y \forall z \exists w ( P(x,y) \or \neg P(z,w) ) )}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \neg ( \exists y \forall z \exists w ( P(a,y) \or \neg P(z,w)) ) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \neg ( \forall z \exists w ( P(a,b) \or \neg P(z,w)) ) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \neg ( \exists w ( P(a,b) \or \neg P(a,w)) ) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \neg ( P(a,b) \or \neg P(a,b) ) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \neg P(a,b) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \neg \neg P(a,b) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(a,b)}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x }

b)

Si

Ejercicio 13

Antes podemos reescribir la formula de la siguiente forma: P٨Q→Z <=> ¬(P٨Q)٧Z <=> ¬P٧¬Q٧Z . Con lo cual la negacion queda P٨Q٨¬Z. Entonces:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (1)[ \forall x \forall y \forall z P(x,y,z) \rightarrow P(y,x,z) ] \wedge (2)[ \exists x \forall y \exists z P(y,z,x) ] \wedge (3)\neg [ \exists x \forall y \exists z P(z,y,x) ] }
(4)(Usando 2)Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall y \exists z P(y,z,t) }
(5)(Usando 3)Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \neg \forall y \exists z P(z,y,t) }
(6)(Usando 5)Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \neg \exists z P(z,t1,t) }
(7)(Usando 4)Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \exists z P(t1,z,t) }
(8)(Usando 7)Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(t1,t2,t) }
(9)(Usando 5)Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \neg P(t2,t1,t) }
(10)(Usando 1)Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(t1,t2,t) \rightarrow P(t2,t1,t) }
(11)Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \neg P(t1,t2,t) \vee P(t2,t1,t) }
(12)(Usando 8,9)Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(t1,t2,t) \vee \neg P(t2,t1,t) }
(13) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \vee x }