Práctica 3: Cuantificadores (Algoritmos I)

Ejercicio 1

Determinar cuales de las variables que aparecen en las siguientes expresiones aparecen libres y cuales ligadas.

1. (Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall x \in [0..n)) x+y==z }
2. (Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall x \in [0..n), y \in [0..m)) x+y==z }
3. (Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall j \in [0..|s|)) s_j == 0 }
4. (Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall j \in [0..|s|)) s_j == x }
5. (Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \exists x \in r, x\ mod\ 2 == 0)(\forall j \in [0..|s|)) s_j == x }
6. Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( |s|>5 \land a<b-1 \land (\forall j \in [a..b)) 2 * s_j == s_{j+1})}

Respuestas: Recordemos que las variables ligadas son aquellas que son variables de selector y están al alcance del mismo.

1. x.
2. x e y.
3. j
4. j
5. x y j
6. j

Ejercicio 2

Escriba los siguientes predicados en lenguaje de especificación:

a) aux sucError al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x: \mathbb{Z}): \mathbb{Z}} , que corresponde al sucesor de x.

b) aux sumaError al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x,y: \mathbb{R}): \mathbb{R}} , que corresponda a la suma entre x e y.

c) aux productoError al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x, y: \mathbb{R}): \mathbb{R}} , que corresponde al producto entre x e y.

d) aux cuadradoError al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x: \mathbb{Z})} : Bool, que sea verdadero sii x es un número cuadrado.

e) aux primoError al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x: \mathbb{Z})} : Bool, que sea verdadero sii x es primo.

f) aux coprimosError al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x,y: \mathbb{Z})} : Bool, que sea verdadero sii x e y son coprimos.

g) aux divisoresGrandesError al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x, y : \mathbb{Z})} : Bool, que sea verdadero sii todos los divisores de x, sin contar el uno, son mayores que y.

h) aux mayorPrimoError al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x: \mathbb{Z}): \mathbb{Z}} , que represente el mayor primo que divide a x.

i) aux mcmError al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x,y: \mathbb{Z}): \mathbb{Z}} , que represente el mínimo común múltiplo entre x e y.

j) aux mcdError al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x,y: \mathbb{Z}): \mathbb{Z}} , que represente el máximo común divisor entre x e y.

Respuestas:

a) aux suc Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x: \mathbb{Z}): \mathbb{Z}} = x + 1;

b) aux suma Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x,y: \mathbb{R}): \mathbb{R}} = x + y;

c) aux productoError al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x, y: \mathbb{R}): \mathbb{R}} = x * y;

d) aux cuadradoError al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x: \mathbb{Z})} : Bool = (x Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \geq} 0 Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \wedge} (Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \exists} y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \leftarrow} [0..x]) y*y == x);

e)aux primoError al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x: \mathbb{Z})} : Bool = |[ y | y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \leftarrow} [1..|x|], x mod y == 0]| == 2 (Recordemos que un número es primo si tiene exactamente dos divisores positivos: el 1 y su valor absoluto)

f) aux coprimosError al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x,y: \mathbb{Z})} : Bool == |[ z | z Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \leftarrow} [1..x], x mod z==0, y mod z == 0]| == 1 (Dos números son coprimos si tienen un único divisor positivo en común: el uno)

g) aux divisoresGrandesError al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x,y : \mathbb{Z})} : Bool = (Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall} z Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \leftarrow} [ t | t Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \leftarrow} [2..|x|], x mod t == 0]) z > y

h) aux mayorPrimoError al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x: \mathbb{Z}): \mathbb{Z}} = Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [y | y \leftarrow [0..|x|], primo(y), x \ mod \ y == 0 ]_{|[ y | y \leftarrow [0..|x|], \ primo(y), x \ mod \ y == 0]|-1}}

i) aux mcmError al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x,y: \mathbb{Z}): \mathbb{Z}} = cab([ z | z Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \leftarrow} [0..|x*y|], z \ mod \ x == 0, z \ mod \ y == 0])

j) aux mcdError al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x,y: \mathbb{Z}): \mathbb{Z}} = Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [ z | z \leftarrow [0..|x|], x \ mod \ z == 0, y \ mod \ z == 0 ]_{[ z | z \leftarrow [0..|x|], x \ mod \ z == 0, y \ mod \ z == 0 ] - 1}}

Ejercicio 3

Escriba las siguientes funciones auxiliares sobre secuencias de enteros, aclarando los tipos de los parámetros que recibe y devuelve:

1. capicua, que determina si una secuencia es capicúa. (Por ejemplo, [0,2,1,2,0] es capicúa y [0,2,1,4,0] no).

capicua(x: [T]): Bool = (Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall} i Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \leftarrow} [0..|x|/2]) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_{i-1}==x_{|x|-i}}

2. esPrefijo, que determina si una secuencia es prefijo de otra.

esPrefijo(x,y: [T]): Bool = (Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \exists} i Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \leftarrow} [0..|y|-1]) x==[Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_i} | j Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \leftarrow} [0..i] ]

3. estaOrdenada, que determina si la secuencia está ordenada de menor a mayor.

estaOrdenada(x: [Int]): Bool = (Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall} i,j Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \leftarrow} [0..|x|-1], i<j) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_i < x_j}

4. todosPrimos, que determina si todos los elementos de la secuencia son números primos.

todosPrimos(x: [Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{Z}} ]): Bool = (Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall} t $\leftarrow$ x) primo(t)

(primos la definimos en el ejercicio 2.5)

5. todosIguales, que determina si todos los elementos de la secuencia son iguales.

todosIguales(x: [T]): Bool = ($\forall$ a, b $\leftarrow$ x) a==b

6. hayUnoParQueDivideAlResto, que determina si hay un elemento par en la secuencia que divide al resto.

hayUnoParQueDivideAlResto(x: [$\mathbb {Z}$]): Bool = ($\exists$ a $\leftarrow$ x, a mod 2 == 0) ($\forall$ b $\leftarrow$ x) b mod a == 0

7. hayUnoEnPosicionParQueDivideAlResto, que determina si hay un elemento en una posición par de la secuencia que divide al resto.

hayUnoEnPosicionParQueDivideAlResto(x: [$\mathbb {Z}$]): Bool =
($\exists$ i $\leftarrow$ [0..|x|-1], i mod 2 == 0)($\forall$ a $\leftarrow$ x) $amodx_{i}==0$

8. sinRepetidos, que determina si la secuencia no tiene repetidos.

sinRepetidos(x: [T]): Bool = ($\forall$ i,j $\leftarrow$ [0..|x|-1], i $\neq$j) $x_{i}\neq x_{j}$

9. sinMasDeNApariciones, que determina si en la secuencia, ningún elemento aparece más de n veces.

sinMasDeNApariciones(x: [T]): Bool = ($\forall$ a $\leftarrow$ x) | [ b | b $\leftarrow$ x, b==a ] | $\leq$ n

10. otroMayorADerecha, que determina si todo elemento de la secuencia, salvo el último, tiene otro mayor a su derecha.

otroMayorADerecha(x: [$\mathbb {Z}$]): Bool = ($\forall$ i $\leftarrow$ [0..|x|-2]) $x_{i}<x_{i+1}$

11. todoEsMultiplo, que determina si todo elemento de la secuencia es múltiplo de alg¶un otro.

todoEsMultiplo(x: [$\mathbb {Z}$]): Bool = ($\exists$ a $\leftarrow$ x)($\forall$ b $\leftarrow$ x) b mod a == 0

12. enTresPartes, que determina si en la secuencia aparecen (de izquierda a derecha) primero 0s, después 1s y por último 2s. Por ejemplo [0; 0; 1; 1; 1; 1; 2] cumple con enTresPartes, pero [0; 1; 3; 0] o [0; 0; 0; 1; 1] no. ¿Cómo modificaría la expresión para que se admitan cero apariciones de 0s, 1s y 2s (es decir, para que por ejemplo [0; 0; 0; 1; 1] o [ ] sí cumplan nTresPartes?

enTresPartes(x: [$\mathbb {Z} ]$): Bool = ( estaOrdenada(x) $\land x_{0}==0\ \land \ x_{|x|-1}==2\ \land \ 1\in x$ )

Pero si queremos que no sea estrictamente necesaria la pertenencia de al menos un 0, un 1 y un 2, podemos modificarlo de la siguiente manera:

enTresPartesPrima(x: [$\mathbb {Z} ]$): Bool = ( estaOrdenada(x) $\land (\forall$ a $\leftarrow$ x) $(0\geq a\ \land \ a\leq 2$ ) )