Interpolación (Métodos Numéricos)

Muchas veces nos encontramos con un conjunto de puntos $(x_i, f(x_i))$ que provienen de una función desconocida $f$ y nos gustaría poder ``estimar el valor de la función en algún punto $\xi \in [x_0,x_n]$ para el cual no tenemos datos. Otra razón para interpolar puede ser que la función original es demasiado complicada para tratar con ella y queremos simplificarla tomando sólo la información contenida en algunos puntos y ``sintetizando una función más simple. Las funciones interpoladoras hacen justamente lo que estamos buscando.

Es útil poder interpolar con polinomios porque son una clase de funciones muy conocida, que tiene derivadas e integrales fáciles de calcular y que también son polinomios. Los polinomios de Taylor concentran su exactitud alrededor del punto sobre el que están centrados, pero a medida que se aleja del centro deja de ser una buena aproximación, por lo que en general no sirven para intervalos medianamente grandes.

\subsection{Polinomio interpolador de Lagrange}

A partir de $n+1$ puntos ${x_0,x_1,\dots,x_n}$ podemos obtener el polinomio de menor grado que pasa por todos ellos. Se construye un cociente $L_{n,k}(x)$ con la propiedad de que $L_{n,k}(x_{i})=0$ cuando $i\neq k$ y $L_{n,k}(x_k)=1$. Un polinomio que cumple esto es el siguiente: \begin{displaymath} L_{n,k}(x) = \frac{(x-x_{0})(x-x_{1})\cdots(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots(x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{1})\cdots(x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})\cdots(x_{k}-x_{n})} = \prod_{\stackrel{i=0}{i\neq k}}^{n}\frac{(x-x_{i})}{(x_{k}-x_{i})} \end{displaymath}

\begin{figure}[h] \centering \includegraphics[width=12cm]{burdenlnk.png} \caption{Polinomio $L_{n,k}(x)$.} \end{figure}

\begin{theorem} Si ${x_0,x_1,\dots,x_n}$ son $n+1$ números distintos y si $f$ es una función cuyos valores están dados en esos números, entonces \textbf{existe} un \textbf{único} polinomio $P$ de grado a lo sumo $n$, con la propiedad de que $f(x_{k})=P(x_{k})$ para $k=0,\ldots,n$. Este polinomio está dado por: \begin{displaymath} P(x)=\sum_{k=0}^{n}f(x_i)L_{n,k}(x) \end{displaymath} \end{theorem}

\begin{theorem} Sean ${x_0,x_1,\dots,x_n}$ en $[a,b]$, $f \in C^{n+1}[a,b]$ entonces para todo $x$ en $[a,b]$, existe $\xi$ en $[a,b]$, que depende de $x$, tal que: \begin{displaymath} f(x)=P(x)+\frac{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n(x - x_i) \end{displaymath} \end{theorem}

El uso de los polinomios de Lagrange plantea dos problemas inmediatos: uno es que el término del error es difícil de aplicar. El otro problema es que teniendo una aproximación de grado $n$, si se quiere obtener ahora la de grado $n+1$, no hay forma de aprovechar los cálculos ya hechos para ahorrar trabajo en el cálculo del nuevo polinomio. Como el polinomio es único, veremos que se puede encontrar otra forma de construirlo que permita agregar más puntos en el futuro sin un costo tan alto.

\begin{definition} Sean $k$ números enteros distintos $m_1,\dots,m_k$ que cumplen $0 \le m_i \le n$ para cada $i$, se define a $P_{m_{1},m_{2},\dots,m_{k}}(x)$ como el polinomio interpolante en los puntos $x_{m_{1}},x_{m_{2}},\dots,x_{m_k}$. \end{definition}

\begin{theorem} \label{recinterpol} Sea $f$ definida en $n+1$ puntos distintos $x_{0},\dots,x_{n}$ con $x_i$ y $x_j$ dos puntos del conjunto distintos entre si y $P(x)$ el polinomio de Lagrange de grado a lo sumo $n$ que interpola a $f$ en esos $n+1$ puntos, entonces el polinomio puede expresarse como $$P(x)=\frac{(x-x_{j})P_{0,1,\dots,j-1,j+1,\ldots,n}(x)-(x-x_{i})P_{0,1,\dots,i-1,i+1,\ldots,n}(x)}{(x_{i}-x_{j})}$$ \end{theorem}

De acuerdo con el \textbf{Teorema \ref{recinterpol}}, los polinomios interpolantes pueden generarse de manera recursiva aprovechando polinomios ya calculados.

\subsection{Forma de Newton del polinomio interpolador}

\begin{definition} La diferencia dividida cero de $f$ respecto a $x_{i}$ se define como $$f[x_{i}]= f(x_{i})$$ y la k-ésima diferencia dividida relativa a $x_{i}, x_{i+1},\dots,x_{i+k}$ está dada por $$f[x_{i},x_{i+1},\dots,x_{i+k}]=\frac{f[x_{i+1},x_{i+2},\dots,x_{i+k}]-f[x_{i},x_{i+1},\dots,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_{i}}$$ \end{definition}

\begin{theorem} Se puede demostrar que el polinomio interpolador $P_{n}(x)$ se puede expresar como $$P_{n}(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+\dots+a_{n}(x-x_{0})(x-x_{1})\cdots(x-x_{n-1})$$ donde $a_{k}=f[x_{0},\dots,x_{k}]$. \end{theorem}

Usando esta definición se puede ir armando el polinomio interpolador de una serie de puntos de forma incremental, de manera que para agregar un punto más al polinomio se puede aprovechar lo ya calculado.

\begin{figure}[h] \centering \includegraphics[width=16cm]{difdiv.png} \caption{Diferencias divididas.} \end{figure}

\subsection{Splines}

Los polinomios tienen una gran desventaja como interpoladores y es que cuanto mayor es el grado, más oscilan. Un procedimiento alternativo consiste en dividir el intervalo en una serie de subintervalos y en cada subintervalo construir un polinomio distinto de aproximación, basándose en la idea de que si cada intervalo usa un polinomio de un grado pequeño, se obtendrá un resultado mucho mejor que con Lagrange.

La aproximación polinómica fragmentaria más simple consiste en unir una serie de puntos mediante una serie de segmentos de rectas. La aproximación por funciones lineales ofrece una desventaja, que no se tiene la seguridad de que haya diferenciabilidad en los extremos de los subintervalos lo cual geométricamente significa que la función interpolante no es ``suave en esos puntos.

El tipo más simple de función de polinomio fragmentario diferenciable en un intervalo entero $[x_{0},x_{n}]$ es la función obtenida al ajustar un polinomio cuadrático entre cada par consecutivo de nodos. Esto se hace construyendo una cuadrática en $[x_{0},x_{1}]$ que concuerde con la función en $x_{0}$ y en $x_{1}$, otra cuadrática en $[x_{1},x_{2}]$ que concuerde con la función en $x_{1}$ y en $x_{2}$ y así sucesivamente. Un polinomio cuadrático general tiene tres constantes arbitrarias, y únicamente se requieren dos condiciones para ajustar los datos en los extremos de cada intervalo, por ello existe una flexibilidad que permite seleccionar la cuadrática de modo que la interpolante tenga una derivada continua en $[x_{0},x_{n}]$. El problema se presenta cuando hay que especificar las condiciones referentes a la derivada de la interpolante en los extremos $x_{0}$ y $x_{n}$: no hay constantes suficientes para cerciorarse de que se satisfagan las condiciones.

La aproximación polinómica fragmentaria más común utiliza polinomios de grado tres entre cada par consecutivo de puntos y recibe el nombre de interpolación por trazadores cúbicos (o spline cúbico). Un polinomio cúbico general contiene cuatro constantes para variar, así ofrece suficiente flexibilidad para garantizar que el interpolante no sólo sea continuamente diferenciable en el intervalo, sino que además tenga una segunda derivada continua en el intervalo, aunque no se espera que las derivadas segundas coincidan con las de la función ni siquiera en los nodos.

\paragraph{Definición:} Dada una función $f$ definida en $[a,b]$ y un conjunto de nodos $a=x_{0}<x_{1}<\dots<x_{n}=b$ un spline cúbico $S$ para $f$ es una función que cumple con las siguientes condiciones:

\begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi}.} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $S(x)$ es un polinomio cúbico denotado $S_{j}(x)$ en el subintervalo $[x_{j},x_{j+1}]$ para $j$ de $0$ a $n-1$ \item $S(x_{j})=f(x_{j})$ para $j$ de $0$ a $n$ \item $S_{j+1}(x_{j+1})=S_{j}(x_{j+1})$ para $j$ de $0$ a $n-2$ \item $S'_{j+1}(x_{j+1})=S'_{j}(x_{j+1})$ para $j$ de $0$ a $n-2$ \item $S{}_{j+1}(x_{j+1})=S_{j}(x_{j+1})$ para $j$ de $0$ a $n-2$ \item{ Se satisface una de las siguientes condiciones de frontera: \begin{itemize} \setlength{\itemsep}{0pt} \item $S(x_{0})=S(x_{n})=0$ (spline libre o \textbf{natural}) \item $S'(x_{0})=f'(x_{0}) \textrm{\ y\ } S'(x_{n})=f'(x_{n}) $ (spline \textbf{sujeto}) \end{itemize} } \end{enumerate}

Generalmente en las condiciones de frontera sujeta se logran aproximaciones más exactas, ya que usan más información acerca de la función, pero se requiere tener valores de la derivada en los extremos. Existen también otras condiciones de frontera posibles además de la natural o la sujeta.

Cuando deseo interpolar un conjunto de puntos $x_{0},\dots,x_{n}$, el planteo de todas las condiciones mencionadas para $S(x)$ se puede llevar a la forma de un sistema de ecuaciones tridiagonal que queda en función de uno de los cuatro coeficientes de cada spline y resulta ser estrictamente diagonal dominante, por lo que tiene solución única, puede almacenarse usando poco espacio y resolverse relativamente rápido.