Diferencia entre revisiones de «Final 21/12/2012 (Álgebra I)»

Revisión del 14:56 6 nov 2015

Sea $F_{n}$ la sucesión de Fibonacci: $F_{0}=0$ , $F_{1}=1$ , $F_{n+1}=F_{n}+F{n-1}(n\geq 1)$

a) Sean $a,b\in \mathbb {Z}$ no ambos nulos. Probar que para $n\geq 0$ se tiene

$(F_{n}a+F_{n+1}b:F_{n+1}a+F_{n+2}b)=(a:b)$

Encontrar otra sucesión $G_{n}\in \mathbb {Z}$ tal que:

$(G_{n}a+G_{n+1}b:G_{n+1}a+G_{n+2}b)=(a:b)(n\geq 0)$

a) Sea $f\in Q[x]$ , $gr(f)=5$ tal que $1+{\sqrt {2}}$ y $3+{\sqrt {3}}$ son raíces de f. Probar que f tiene una raíz racional.

b) Encontrar un polinomio $g\in Q[x]$ de grado 5 con raíz $1+{\sqrt {2}}$ pero sin raíces racionales.

Probar que si p y q son primos distintos y si a es coprimo con pq, entonces $a^{[p-1:q-1]}$ es congruente a 1 (mod pq)

Dado $k\in \mathbb {N}$ , $G_{k}=\{z\in \mathbb {C} /z^{k}=1\}$ . Probar que si n y m son coprimos,

$f:G_{n}\times G_{m}\rightarrow G_{mn}$

$f(t,s)=ts$ es biyectiva.

Encontrar todos los enteros $0\leq a\leq 2400$ que son divisibles por 8, tales que su desarrollo en base 7 tiene al menos 3 dígitos iguales.

@@ Línea 12: / Línea 12: @@
 <math>(G_na+G_{n+1}b:G_{n+1}a+G_{n+2}b)=(a:b) (n\geq 0)</math>
 ==Ejercicio 2==
-a) Sea <math>f \in Q[x]</math>, <math>gr(f)=5</math> tal que <math>1+sqrt{2}</math> y <math>3+sqrt{3}</math> son raíces de ''f''. Probar que ''f'' tiene una raíz racional.
+a) Sea <math>f \in Q[x]</math>, <math>gr(f)=5</math> tal que <math>1+\sqrt{2}</math> y <math>3+\sqrt{3}</math> son raíces de ''f''. Probar que ''f'' tiene una raíz racional.
-b) Encontrar un polinomio <math>g \in Q[x]</math> de grado 5 con raíz <math>1+sqrt{2}</math> pero sin raíces racionales.
+b) Encontrar un polinomio <math>g \in Q[x]</math> de grado 5 con raíz <math>1+\sqrt{2}</math> pero sin raíces racionales.
 ==Ejercicio 3==