Final 14/06/2019 (Probabilidad y Estadística)

Criterio de aprobaci ́on: El examen consta de dos partes A y B. En la Parte A, cada ejercicio resuelto correctamentesuma un punto. En la Parte B, el ejercicio suma 5 puntos. El final se aprueba con 6 puntos y NO podra sumar mas de 5 puntos de cada parte

Parte A

Ejercicio 1

Se tiene una urna con cuatro pelotitas negras y tres rojas. Se quitan tres sin reposicion.

1. Dar la probabilidad de que la primera halla sido negra y la tercera roja.
2. Si se sabe que la tercera fue roja. Cual es la probabilidad de que la segunda halla sido negra?.

Ejercicio 2

Sean Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} , Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y} dos variables aleatorias independientes con distribuciones Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X \sim \mathcal{P}(\lambda)} , Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y \sim \mathcal{P}(\mu)} . Demostrar que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X+Y \sim \mathcal{P}(\lambda + \mu)}

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Posible resolución

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(X+Y = k)=P(X=k-Y) \overset{\overset{\text{Proba total}}{\downarrow}}{=} \sum\limits_{i=0}^k P(X=k-Y | Y=i)P(Y=i) = \sum\limits_{i=0}^k P(X=k-i | Y=i)P(Y=i) \overset{\overset{\perp\!\!\!\perp}{\downarrow}}{=} \sum\limits_{i=0}^k P(X=k-i)P(Y=i) = \sum\limits_{i=0}^k \left(\frac{\lambda^{k-i}}{(k-i)!} e^{-\lambda} \right) \left(\frac{\mu^{i}}{(i)!} e^{-\mu}\right) = e^{-(\lambda+\mu)}\sum\limits_{i=0}^k \frac{\lambda^{k-i}}{(k-i)!} \frac{\mu^{i}}{(i)!} = e^{-(\lambda+\mu)}\sum\limits_{i=0}^k \frac{\lambda^{k-i}}{(k-i)!} \frac{\mu^{i}}{(i)!} \frac{k!}{k!} = \frac{1}{k!} e^{-(\lambda+\mu)}\sum\limits_{i=0}^k \frac{k!}{(k-i)! i!} \lambda^{k-i}\mu^i = \frac{1}{k!} e^{-(\lambda+\mu)}\sum\limits_{i=0}^k \binom k i \lambda^{k-i}\mu^i = \frac{(\lambda+\mu)^k}{k!} e^{-(\lambda+\mu)} \sim \mathcal{P}(\lambda+\mu)}

Ejercicio 3

Sean Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X_1, \dots, X_n} , Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y_1, \dots, Y_n} variables aleatorias independientes. Siendo Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X_i} con distribucion geometrica de parametro Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p} y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y_i} con distribucion normal de media 0 y varianza 1. Dar el valor limite de:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^n X_i\ \mathbb{I}_{\{Y_i>0\}}}

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Posible resolución

Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Z_i = X_i \mathbb{I}_{\{Y_i>0\}}} Yo se que si Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^n} converge en probabilidad, lo hace a su esperanza por la Ley de Grandes Numeros:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^n \overset{p}{\longrightarrow} E[Z]}

Si se cumple que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V[Z] < \infty} . Primero encuentro la esperanza y despues me preocupo por eso.

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E[Z]=E[X\ \mathbb{I}_{\{Y>0\}}] \overset{\overset{\perp\!\!\!\perp}{\downarrow}}{=} E[X]E[\mathbb{I}_{\{Y>0\}}]=\frac{1}{p}E[\mathbb{I}_{\{Y>0\}}]=\frac{1}{p}P(Y>0)\overset{\overset{Y\sim\mathcal{N}(0,1)}{\downarrow}}{=}\frac{1}{2p}}

Para ver que la varianza es finita tengo que estudiar Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E[Z^2]=E[X^2\ \cdot\ \left(\mathbb{I}_{\{Y>0\}}\right)^2]=E[X^2]\ E[\left(\mathbb{I}_{\{Y>0\}}\right)^2]} Yo se que la varianza de una geometrica es finita asi que el primer termino se puede calcular facil y es finito (Da Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (2-p)/p^2} ). Para el otro termino notemos que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left(\mathbb{I}_{\{Y>0\}}\right)^2 = \mathbb{I}_{\{Y>0\}} \cdot \mathbb{I}_{\{Y>0\}} = \mathbb{I}_{\{Y>0\}} } Porque multiplicar dos veces la misma indicadora no aporta nada, entonces ya esta calculada la Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E[Z^2]} y entonces la Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V[Z]=E[Z^2]-E^2[Z]} se puede calcular y da finita. Entoces puedo usar LGN, y el limite da lo que ya calcule arriba.

Ejercicio 4

Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{S_n\}_{n\ge 1}} una sucesion de variables aleatorias tal que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n \sim \Gamma(n, \lambda)} . Demuestre que

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{S_n - n/\lambda}{\sqrt{n}/\lambda}}

Converge en distribucion a una normal e indique con que parametros.

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Posible resolución

Primero hay que saber que decir que algo converge en distribucion es lo mismo a decir que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty} F_{X_n} = F_X} en todo punto donde la acumulada es buena. Es lo mismo que decir que las generadoras de momentos convergen (i.e. Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty} M_{X_n} = M_X} ).

Con esto voy a usar la generadora de momentos de la distribucion Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma(n, \lambda)} que es Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M_X(t)=\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)^n}

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M_{\frac{S_n-n/\lambda}{\sqrt{n}/\lambda}} (t) = } Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{-\sqrt{n}} M_{\frac{S_n}{\sqrt{n}/\lambda}}(t) = } Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{-\sqrt{n}} M_{S_n}(t\lambda/\sqrt{n}) = } Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{-\sqrt{n}} \left(\frac{\lambda}{\lambda-\frac{t\lambda}{\sqrt{n}}}\right)^n = } Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{-\sqrt{n}} \left(\frac{1}{1-\frac{t}{\sqrt{n}}}\right)^n = }

Si Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty} M_{X_n} = M_X} entonces Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty} \log(M_{X_n}) = \log(M_X)} pues es una funcion biyectiva en su dominio, entonces le tomo logaritmo a lo anterior

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log\left(e^{-\sqrt{n}} \left(\frac{1}{1-\frac{t}{\sqrt{n}}}\right)^n \right) = } Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\sqrt{n} + n\log\left(\frac{1}{1-\frac{t}{\sqrt{n}}}\right) = } Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\sqrt{n} + n\left[-\log\left(1-\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\right] = } Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\sqrt{n} - n\log\left(1-\frac{t}{\sqrt{n}}\right) = }

Aqui hay que recordar (O saber hacer...) la expansion de Taylor para x<<1 Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \mathcal{O}(x^3)}

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\sqrt{n} - n\log\left(1-\frac{t}{\sqrt{n}}\right) \approx -\sqrt{n} - n\left(\frac{t}{\sqrt{n}} - \frac{t^2}{2n}\right) }

Entonces queda que

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty} M_{S_n} =\lim_{n\to\infty}\exp\left(-\sqrt{n}(1+t) + \frac{t^2}{2}\right) = \exp\left(\frac{t^2}{2}\right) = M_Z(t), Z\sim\mathcal{N}(0,1)}

Quedo demostrado entonces la convergencia en distribucion de la funcion original a una normal con media cero y varianza uno.

Ejercicio 5

Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X_1, \dots, X_n} una muestra de variables aleatorias con distribucion Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{U}(1, \theta)} . Dar el estimador de maxima verosimilitud de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q(\theta)=\theta(1-\theta)} . Es consistente?

Ejercicio 6

Construya un intervalo de confianza de nivel Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1-\alpha} para el parametro Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p} de una Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Bi(2,p)} basado en una muestra Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X_1, \dots, X_n} . Especifique si el intervalo propuesto es asintotico o exacto.

Parte B

1. Sea $X_{1},\dots ,X_{n}$ una muestra aleatoria con media $\mu$ desconocida y varianza $\sigma ^{2}$ desconocida. Considere las hipotesis $H_{0}:\{\mu =\mu _{0}\}$, $H_{1}:\{\mu <\mu _{0}\}$. Proponga un test de nivel $\alpha$. Defina error de tipo I y error de tipo II. Halle una expresion para la funcion de potencia en funcion de alguna distribucion conocida.
2. Proponga un ejercicio (Solo el enunciado, no lo resuelva) cuya resolucion requiera testear las hipotesis anteriores.