Final 07/08/2019 (Álgebra I)

Ejercicio 1

Sea $R$ la relación de $G_{64}$ dada por $zRw$ $\iff z.{\bar {w}}\in G_{40}$ :

a) Probar que $R$ es una relación de equivalencia.

b) Calcular la cantidad de elementos de $G_{64}$ que están relacionados con $i$.

Ejercicio 2

Hallar todos los $a,b\in \mathbb {Z}$ tales que $(a:b)=5$ y $4a+9b=105$.

Ejercicio 3

Para todo $n\in \mathbb {N}$, calcular $\sum \limits _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}$; luego, deducir la cantidad de subconjuntos de cardinal par de un conjunto cardinal $n\in \mathbb {N}$ coincide con la cantidad de subconjuntos de cardinal impar.

Ejercicio 4

Sea $w$ una raíz primitiva sexta de la unidad, calcular todos los valores de $w^{2019^{708}}+1$.

Ejercicio 5

Hallar todos los valores $a,b\in \mathbb {Z}$ coprimos tales que el polinomio $X^{8}+3X^{6}-2X^{5}-X^{4}+2X^{3}+bX+a$ tenga al menos una raíz doble.