Final 28/02/2020 (Análisis II)

Ejercicio 1

Sea $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ de clase $C^{1}$ / f(t*P) = t*f(P) $\ \forall \ t\ \in \ \mathbb {R} \ y\ \forall P\in \mathbb {R} ^{2}$

a) Calcular f(0,0).

b) Calcular las derivadas direccionales de f en (0,0).

c) Probar que f es una transformación lineal.

Ejercicio 2

Sea $f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ una función de clase $C^{2}$ / su polinomio de Taylor de grado 2 alrededor de q = (1,2,3) es\ $P(x,y,z)=x^{2}+y*z$

Notar que no esta descrito en potencias de (x-1),(y-2) y (z-3) como habitualmente se lo da.

Si c(t) es la curva dada por c(t) = q + t*(a,b,c) y $g(t)=f(c(t))$, calcule g'(0) y g"(0) en términos de a,b,c.

Ejercicio 3

Sea $g:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ la función $g(x,y)=e^{(}(2x+y)(3x+2y)-1)$ y notemos por S la curva de nivel

S = {(x,y) \in $\mathbb {R} ^{2}$ : g(x,y)=1}

a) Encontrar todos los puntos de P \in S para los cuales es posible despejar la variable y en función de la variable x alrededor de P.

b) Probar que la función f(x,y)= 2x+y no alcanza ni max ni min en S.

c) ¿Es S acotada?.

Ejercicio 4

Sea D = [0,1]x[0,l] y $f:D\rightarrow \mathbb {R}$ una función integrable / f(x,y) = -f(x,y).

$Muestreque\int (\int _{D}f)$ = 0