Práctica 3: Técnicas Algorítmicas (Algoritmos III)

Ejercicio 03.01

Version recursiva

int fib (n)
	si (n==0 || n==1)
		devolver n;
	sino
		devolver fib(n-1)+fib(n-2);

Version no recursiva

int fib (n)
	int mfib[n]; mfib[0] = 0; mfib[1] = 1;
	
	para i = 2..n
		mfib[i] = mfib[n-1]+mfib[n-2];
	devolver mfib[n];

Complejidad temporal O(n), complejidad espacial O(n)

Otra manera no recursiva

int fib (n)
	if ( n <= 1 ) devolver 1	
	else
            int x = 1; 
            int y = 1;
            para i = 2..n
		suma = x + y; 
                y = x; 
                x= suma;
	    devolver  suma

Complejidad temporal O(n), complejidad espacial O(1)

Ejercicio 03.02

a) Para mover n discos desde i hasta j usando k:

Mover( inout i: Pila(nat), inout j: Pila(nat), inout k: Pila(nat), in n: nat )
Si n = 1
	Apilar(tope(i),j)
sino
	Mover(i, k, j, n-1)
	Mover(i, j, k, 1)
	Mover(k, j, i, n-1)

b) para demostrar la correctitud del algoritmo, lo podemos hacer por inducción basándonos que en n pasos nuestro algoritmo deja n-discos en la pila 3 de la forma correcta(es decir, el mas pesado debajo de todo y así con los de menor peso). CB: Muevo un disco de la pila 1 a la pila 3, vale. PI: Se asume que se dejaron n-1 discos correctamente ubicados en la pila 3, por lo que solo me queda mover un disco de la pila 1 a la 3, y como en esta ultima el orden era el correcto, vale para todo n. Lo importante a notar es que el algoritmmo mantiene invariante lo que realiza paso a paso, es decir, hace un montón de movimientos entre los distintos discos pero al final de cuentas los termina dejando acomodas en orden correcto en la pila3.
c) O(2^n)
d) Como son 64 discos, el número de movimientos es 2^64 - 1 = 18446744073709551615. Si suponemos que los monjes tienen la suficiente habilidad como para hacer un movimiento en un segundo, en un día harán 60*60*24 movimientos. Y en un año de 365 días: 60*60*24*365. Dividimos el número de movimientos por el resultado de la operación anterior y nos debe dar, aproximadamente, medio billón de años. Sólo falta averiguar cuantos años se estiman que el hombre lleva sobre la tierra y sabremos el tiempo que le queda sobre ella (TSUNAMI DE CHANES!!)

Ejercicio 03.03

a)

d_más_chica(Arreglo de puntos PS)
	Sort(PS,CoordX);
	si #PS = 2
		devolver distancia(PS[1], PS[2]);
	sino
		dA = d_más_chica(P[1..n/2]);
		dB = d_más_chica(P[n/2+1..n]);
		dM = infinito
		para i=1..n/2
			para j=n/2+1..n
				si d(P([i],P[j]) < dM
					dM = d(P([i],P[j]);
	devolver mínimo(dA, dB, dM);

b)
c) usando Teorema Maestro tenemos: T(n) = 2 * T(n/2) + n^2, que entra en el tercer caso, quedándonos: O(n^2)

Ejercicio 03.04

Codigo c++
a) NOTA: Matriz es una clase que hice y que es muy larga como para poner aca.

void aux_3_4(Matriz &fix, int d, int h, int dia) {
    if(h > d) {
        aux_3_4(fix, d, (d+h)/2, dia/2);
        aux_3_4(fix, (d+h)/2 + 1, h, dia/2);
        
        int i = d;
        int s = 0;
        while(i <= (d+h)/2){
            int j = (d+h)/2 + 1;
            int c = s;
            while(j <= h){
                fix.asignar(i, j, dia - abs(c) - 1);
                fix.asignar(j, i, dia - abs(c) - 1);
                j++;
                c++;
            }
            i++;
            s--;
        }
    }
    else
        fix.asignar(d, d, 0); //la diagonal se rellena de ceros
}

void ejercicio_3_4_a(Matriz &fixture, int n){
    aux_3_4(fixture, 0, n-1, n);
}

b)

Ejercicio 03.05

i) NO. Contraejemplo:

        P1: s1=10, pi1=2
        P2: s2=20, pi2= 8

Luego T = c*[2*10 + 8*(10 + 20)] = c*260 y si hubiesemos ordenado al reves, daria c*[8*20 + 2*(20 + 10)] = c*220 < T

ii) NO. Contraejemplo:

        P1: pi1=2, s1=20
        P2: pi2= 8, s2=10

Luego T = c*[2*20 + 8*(20 + 10)] = c*280 y si hubiesemos ordenado al reves, daria c*[8*10 + 2*(10 + 20)] = c*140 < T

iii) Funciona bien, pues lo ideal es s_i creciente y pi_i decreciente, entonces, pi_i/s_i decreciente

Ejercicio 03.06

a)
Tomamos monedas de 25,10,5,1
Sol. Optima V = (v1,v2,..,vn) / v1 >= v2 >= .. >= vn
Sol. Optima G = (g1,g2,..,gn) / g1 >= g2 >= .. >= gn

qvq Sol. del Goloso G = V
Puede Pasar (G inc V) o (V inc G)? NO (suma de G = suma de V)
Vj < Gj (sino el goloso lo hubiera elegido)
Gj > Vj >= Vj+1 >= ... >= Vm
Ex. j / Vj != Gj Vi = Gi i<j

Valores Posibles

Gj	25	10	5
Vj	10,5,1	5,1	1

1) Vj = 1 -> Vj+1 .. Vm
No puede ocurrir porque la suma tenia que ser la misma, tampoco puede haber un 10 o 5
2) Vj = 5
No puedo tener otro 5 (para eso pongo un 5), tampoco puede haber un 25 en Gj
3) Vj = 10
Tampoco, ya que 10,10,5 no seria optimo

Conclusion: V = G

b) Si tomamos por ejemplo un vuelto de 15 centavos, el goloso nos daria el siguiente resultado: 15 = 1 moneda de 12 cent. + 3 de 1 cent, o sea 4 monedas. Usando otro criterio, y asumiendo que cuento con monedas de 10 y 5 centavos, puedo dar el vuelto con 2 monedas: 15 = 1 moneda 10 centavos + 5 centavos. Por lo tanto el criterio goloso no encuentra la solución óptima en este contexto.

Ejercicio 03.07

a) Pseudocodigo

Coef(n,k)
	si (calculado(n,k))
		devolver mCoef[n,k];

	si (k == 0 || k == n)
		res = 1;
	sino
		res = Coef(n-1, k-1) + Coef(n-1, k);

	mCoef[n,k] = res;
	devolver res;

Codigo Cpp

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <cstdio>

using namespace std;

void ej7(int n);

void ej7(int n)
{
     int tabla[100][100];

     //PROCESAR

     //O(n)
     for(int i = 0; i<n+1; i++)
     {
        tabla[i][0] = 1;
        tabla[i][i+1] = 0;
     }

     //O(n)
     for(int i = 1; i<n+1; i++)
     {
        //O(i)
        for(int j = 1; j<=i; j++)
        {
           tabla[i][j] = tabla[i-1][j-1] + tabla[i-1][j];
        }
     }

     //MOSTRAR RESULTADOS 
     
     for(int i = 0; i<10; i++) {
        cout << endl;
        for(int j = 0; j<10; j++)
                cout << tabla[i][j] <<" ";
     }

     cout << endl;
     cout << endl;
     cout << "Resultado: ";
     for(int i = 0; i<n+1; i++)
     {
        cout << tabla[n][i] <<" ";
     }
}

b) O(n*k)
c) Se pueden usar 2 variables auxiliares con el fin de ir guardandome los calculos necesarios para calcular cada termino de fibonacci, hago un pseudocodigo:

fibo(n)
        si n == 0 o n == 1, devolver 1 //caso base
        sino
            termino1 = 1, termino2 = 1
            para i desde 2 hasta n,
            hacer:
                  suma = termino1 + termino2;
                  termino2 = termino1l;
                  termino1 = suma;
            fin para
        devolver termino1;

Como programación dinámica es botton up, voy construyendo la solución de menor termino hasta el n-esimo.

Ejercicio 03.08

a)

Nota: costo=int, pred: <int,int>
camMinimo(int M[m][n])
  Tupla<costo, pred> R[m][n];
  Lista<int, int> camino;

  R(1,1)=< M[1,1], <0,0> >;
  R(f,1)=< Σ{i=1..f} M[i,1], <f-1,1> >;
  R(1,c)=< Σ{i=1..c} M[1,i], <1,c-1> >;

  para f=2..m
    para c=2..n
      si (R[f,c-1].costo < R[f-1,c].costo)
        R[f,c].costo = R[f,c-1].costo+M[f,c];
        R[f,c].pred = <f,c-1>;
      sino
        R[f,c].costo = R[f-1,c].costo+M[f,c];
        R[f,c].pred = <f-1,c>;

	res = R[m,n].costo;				
	
	sig = <m,n>;
	mientras (R<sig>.pred != <0,0>) // reconstruyo camino
		camino = R<sig>.pred U camino;
		sig = R<sig>.pred;

b) O(m*n)tanto temporal como espacial.
c) La matriz R seria:

2	10	13	17
7	10	14	19
8	10	12	13
11	14	18	18

Ejercicio 03.09

a) Primero pensemos en la funcion recursiva. TIP: veamos la version booleana y luego si sale, se puede hacer la version con los operandos.

i es el indice del vector v de valores a los cuales se les van a aplicar los operandos.

f(i,w) = { true si i=1 y W=v1

           false si i = 1 y W !=v1
           f(i-1,w-vi) || f(i-1, w/ri) || f(i-1, nroot(w)) //hacemos un or

b)

Ejercicio 03.10

Codigo Cpp

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <cstdio>

using namespace std;

enum ciudades {NY = 0, 
                COL = 1, LOUIS = 2, NASH = 3, 
                KANSAS = 4, OMAHA = 5, DALLAS = 6,
                SA = 7, DENVER = 8, 
                LA = 9};

void ej10();
int dist (ciudades c1, ciudades c2);
int dist (int c1, int c2);

void ej10()
{
    //INICIALIZACION
    int tabla[10];
    tabla[NY]= 0;
    
    // DIA 1
    for (int i = 1; i<4; i++)
        tabla[i] = dist(NY, (ciudades)i);
    
    // DIA 2
    for (int i = 4; i < 7; i++)
    {
        int minDist = dist(i,1) + tabla[1];
        for (int j = 2; j<4; j++)
            if (minDist > dist(i,j) + tabla[j])
                minDist = dist(i,j) + tabla[j];
        tabla[i] = minDist;
    }

    // DIA 3
    for (int i = 7; i < 9; i++)
    {
        int minDist = dist(i,4) + tabla[4];
        for (int j = 5; j<7; j++)
            if (minDist > dist(i,j) + tabla[j])
                minDist = dist(i,j) + tabla[j];
        tabla[i] = minDist;
    }
        
    // DIA 4
    tabla[9] = (dist(9,7) + tabla[7] < dist(9,8) + tabla[8])
                ? dist(9,7) + tabla[7]
                : dist(9,8) + tabla[8];
    
    // MOSTRAR RESULTADOS
    for (int i = 0; i<10; i++)
    {
        cout << endl << i << ": " << tabla[i];
    }
    
    cout << endl << endl << "Valor final a LA: " << tabla[9] << endl;
}

int dist (int c1, int c2)
{
    return dist ((ciudades)c1, (ciudades)c2);
}

int dist (ciudades c1, ciudades c2)
{
    if (c1 > c2)
    {
        ciudades aux;
        aux = c1;
        c1 = c2;
        c2 = aux;
    }   
    else if (c1 == c2)
    {
        return 0;
    }
    
    if (c1 == NY)
    {
        switch (c2)
        {
            case COL: return 550;
            case NASH: return 900;
            case LOUIS: return 770;
            default: 
                cout << "Error en dist: " << c1 << " y " << c2;
                return 0;
        }
    }
    else if (c1 == COL)
    {
        switch (c2)
        {
            case KANSAS: return 680;
            case OMAHA: return 790;
            case DALLAS: return 1050;
            default: 
                cout << "Error en dist: " << c1 << " y " << c2;
                return 0;
        }

    }    
    else if (c1 == NASH)
    {
        switch (c2)
        {
            case KANSAS: return 580;
            case OMAHA: return 760;
            case DALLAS: return 660;
            default: 
                cout << "Error en dist: " << c1 << " y " << c2;
                return 0;
        }

    }
    else if (c1 == LOUIS)
    {
        switch (c2)
        {
            case KANSAS: return 510;
            case OMAHA: return 700;
            case DALLAS: return 830;
            default: 
                cout << "Error en dist: " << c1 << " y " << c2;
                return 0;
        }

    }        
    else if (c1 == KANSAS)
    {
        switch (c2)
        {
            case DENVER: return 610;
            case SA: return 790;
            default: 
                cout << "Error en dist: " << c1 << " y " << c2;
                return 0;
        }
    }    
    else if (c1 == OMAHA)
    {
        switch (c2)
        {
            case DENVER: return 540;
            case SA: return 940;
            default: 
                cout << "Error en dist: " << c1 << " y " << c2;
                return 0;
        }
    }
    else if (c1 == DALLAS)
    {
        switch (c2)
        {
            case DENVER: return 790;
            case SA: return 270;
            default: 
                cout << "Error en dist: " << c1 << " y " << c2;
                return 0;
        }
    }
    else if (c1 == DENVER)
    {
        switch (c2)
        {
            case LA: return 1030;
            default: 
                cout << "Error en dist: " << c1 << " y " << c2;
                return 0;
        }
    }
    else if (c1 == SA)
    {
        switch (c2)
        {
            case LA: return 1390;
            default: 
                cout << "Error en dist: " << c1 << " y " << c2;
                return 0;
        }
    }
    else
    {
        cout << "Error en dist: " << c1 << " y " << c2;
        return 0;
    }
}

Ejercicio 03.11

Codigo Cpp

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <cstdio>

using namespace std;

void ej11();

void ej11()
{
    // INICIALIZACIONES
    int costo[3] = {10*100, 10*100, 12*100};
    int req[3] = {2, 5, 8};
    int costoStock = 150;
    int costoInit = 250;
    int tablaCost[3][9];
    int tablaPred[3][9];

    for (int i = 0; i<3; i++)
    {
        for (int j = 0; j < 9; j++)
        {
            tablaCost[i][j] = 0;
            tablaPred[i][j] = 0;
        }
    }
   
    // PROCESO
    for (int mes = 0; mes < 3; mes++)
    {
        for (int prod = req[mes]; prod < 9; prod++)
        {
            if (mes == 0)
            {
                tablaCost[mes][prod] = costo[mes] * prod + costoInit;
            }
            else
            {
                int costoMin = (prod - req[mes-1]) * costoStock + tablaCost[mes-1][prod];
                int pred = prod;
//                if (mes == 2) cout << "Stock mes anterior " << prod << "; costo " << costoMin << endl;
                for (int stock = req[mes-1]; stock < prod; stock++)
                {
                    int costoAct = (stock - req[mes-1])* costoStock;
                    costoAct+= costo[mes] * (prod-stock) + costoInit;
                    costoAct+= tablaCost[mes-1][stock];
//                    if (mes == 2) cout << "Mes " << mes << " a producir " << prod << ". Stock mes anterior " << stock << "; costo " << costoAct << endl;
                    if (costoMin > costoAct) 
                    {
                        costoMin = costoAct;
                        pred = stock;
                    }
                }
                tablaCost[mes][prod] = costoMin;
                tablaPred[mes][prod] = pred;
            }
        }
    }
    
    // MOSTRAR RESULTADOS
    cout << endl << "Tabla de Prog Dinamica: " << endl;
    for(int i = 0; i<9; i++) {
        cout << endl;
        for(int j = 0; j<3; j++)
                cout << tablaCost[j][i] <<" ";
     }

    cout << endl << endl << "Tabla de Predecesores: " << endl;
    for(int i = 0; i<9; i++) {
        cout << endl;
        for(int j = 0; j<3; j++)
                cout << tablaPred[j][i] <<" ";
     }

    cout << endl << endl << "Resultado: " << tablaCost[2][8] << endl;
    
    cout << endl << "Esquema de produccion: " << endl;
    int mesAct = 2;
    int prodAct = 8;
    while (mesAct >= 0)
    {
//        cout << "Prod Act " << prodAct;
        cout << "Mes " << mesAct +1 << " producir " << (prodAct - tablaPred[mesAct][prodAct]) * 100 << "  unidades." << endl;
        prodAct = tablaPred[mesAct][prodAct];
        mesAct--;
    }
    cout << endl;
}

Ejercicio 03.13

a) no es optimo ya que se puede realizar con solo 2 operaciones. Insertando una 'c' entre las 'b' y borrando la ultima 'a'.
b)

dist("",v[1..m]) = m
dist(u[1..n],"") = n
dist(u[1..n],v[1..m]) = min (1+dist(u[1..n],v[1..m-1]), (insertar Vm)
			 1+dist(u[1..n-1],v[1..m]), (borrar Vm)
			 if u[n]=v[m] then 0 else 1+
			 dist(u[1..n-1],v[1..m-1])  (cambiar/nada con Vm)
			)

Algoritmo:
M[0,j] = j
M[i,0] = i
M[i,j] = dist(u[1..i],v[1..j]) = min ( 1+M[i,j-1], .. )

Correctitud:
(Otro dia)

Ejercicio 03.15

a)
b)

Ejercicio 03.17

a)
b)
c)

Ejercicio 03.18

a)
b)
c)