Segundo Parcial 1er Cuatrimestre 2017 (Probabilidad y Estadística)

Ejercicio 1

Un local vende dos tipos de artículos, A y B. La cantidad de artículos A que vende en un día es una variable aleatoria con media 10 y varianza 9. La cantidad de artículos B que vende en un día es una variable aleatoria con media 15 y varianza 16. Ambas variables son independientes entre sí y la cantidad de artículos vendidos en días diferentes también es independiente. a) (9) Utilizando Tchebychev acotar inferiormente la probabilidad de que la cantidad de artículos vendidos en 10 días esté entre 220 y 280. b) (9) Si el valor de venta de los artículos A y B es de $2 y $1 respectivamente, calcular de manera aproximada la probabilidad de que en 100 días se registren ventas por más de $3630. c) (7) Luego de cambios en la vidriera del local el dueño quiere decidir si la media diaria de la cantidad de artículos vendidos se ha mantenido (pues considera ahora los valores de media y desvío de ambos artículos desconocidos). En busca de una respuesta registra la cantidad de artículos vendidos por 50 días, obteniendo los siguientes resultados: x = 37.9 y s = 6.2. Construir un intervalo de confianza asintótico 0.95. ¿Cuál es el intervalo resultante? ¿Qué conclusión saca el dueño?

Ejercicio 2

a) (10) El peso medio de una muestra de 100 recién nacidos es 3200 gramos. Sabiendo que los pesos de la población de recién nacidos sigue una distribución normal con varianza igual a 22500 gramos, hallar el intervalo de confianza para la media poblacional con un nivel de confianza de 0.95. b) (15) En una muestra de 300 universitarios, el 80% ha respondido que asiste semanalmente al cine. ¿Entre qué valores se encuentra, con un nivel de confianza asintótico de 0.95, la proporción de universitarios que acuden todas las semanas al cine? ¿De qué tamaño debería tomarse la muestra para asegurar que la longitud esperada del intervalo sea menor a 0.05? Ayuda: Recordar que t(1-t) <= (1/4) si t está en [0,1]

Ejercicio 3

Sean X1, ..., Xn variables aleatorias independientes con densidad f(x, a) = ((3x^2)/a) * (e^((-x^3)/a)) * I(0, +inf)(x), a > 0 a) (10) Hallar el estimador de máxima verosimilitud de a. b) (6) Probar que Yi = Xi^3. c) (3) Decidir si el estimador es insesgado o asintóticamente insesgado. d) (3) Calcular el error cuadrático medio del estimador. e) (3) Decidir si el estimador es consistente.

Ejercicio 4

Científicos que investigan características de niños superdotados recolectaron datos de las escuelas de Buenos Aires sobre una muestra aleatoria de treinta y seis niños que fueron identificados como tales. En dicha muestra obtuvieron un promedio de 30.69 meses para la edad a la que estos niños contaron por primera vez hasta 100 con éxito y una desviación estándar muestral de 4.31 meses. Suponiendo que la distribución aleatoria que mide esta edad es normal: a) (15) Realizar un test de hipótesis de nivel a = 0.05 para evaluar si estos datos proporcionan evidencia convincente para decir que la edad media en la que los niños superdotados cuentan hasta 100 es menor que la edad general promedio de 32 meses. Plantear hipótesis nula y la alternativa, el estadístico del test, dar su distribución bajo H0, indicar la región de rechazo y la conclusión que se obtiene para los datos recolectados. b) (10) Acotar el p-valor y en función de este decidir si rechaza la hipótesis nula para a = 0.10 y para a = 0.001.