Práctica 5: Clases de Grafos (Algoritmos III)

Ejercicio 05.01:

3*n = Σ_v 3 <= Σ_v d(v) = 2*m = 2*19 = 38
Entonces n <= 38/3 ∼ 12

Ejercicio 05.02:

a)
2*n = Σ_v 2 = Σ_v d(v) = 2*m = 2*12 = 24
Entonces n = 24/2 = 12
b)
3*n + 3 = 12 + 3*n - 9 = 3*4+(n-3)*3 = Σ_v d(v) = 2*m = 2*15 = 30
Entonces n = 27/3 = 9
c)
k*n = Σ_v d(v) = 2*m = 2*20 = 40
Entonces n = 40/k

Ejercicio 05.03:

P(n) = G digrafo de n vertices -> Σ din(v) = Σ dout(v) (todo v en V)

• CB: n = 1

Σ din(v) = Σ dout(v) <=> 0 = 0 OK

• PI: P(n-1)->P(n)

Sup. que vale para un digrafo de n-1 vertices. qvq vale para G, si agregamos un vertice w de k ejes de entrada y j de salida. Sabemos que
Σ{i=1..n} din(vi) = Σ{i=1..n-1} din(vi) + j + din(w)
Σ{i=1..n-1} dout(vi) = Σ{i=1..n-1} dout(vi) + k + dout(w)
Entonces
Σ{i=1..n} din(vi) = Σ{i=1..n} dout(vi) <=> Σ{i=1..n-1} din(vi) + j + din(w) = Σ{i=1..n-1} dout(vi) + k + dout(w) <=> (Por HI Σ{i=1..n-1} din(vi) = Σ{i=1..n-1} dout(vi)) j + din(w) = k + dout(w) <=> j + k = k + j -> OK

Ejercicio 05.04:

Sup. que todos los grados son distintos. Entonces los vertices tienen todos los grados posibles, de 0 a n-1. Pero si esto pasa, entonces tengo un vertice conectado a todos (el de grado n-1) y al mismo tiempo otro conectado a ninguno (el de grado 0). ABS => Existen 2 vertices del mismo grado.

Ejercicio 05.05:

Si esto pasara entonces Σ_v d(v) = 2*m <=> 21 = 3*7 = Σ_v 3 = 2*m <=> Impar = Par ABS => No es posible.

Ejercicio 05.06:

=>) Sup. que no hay arcos de V1 a V2. Sea W1={V1} y W2={V2,..,Vn}. Pero como no hay arco de V1 a V2, entonces no existe camino de V1 a V2. G no es conexo. ABS

<=) Sup. que no es conexo -> existen 2 vertices vi,vj / no hay camino entre ellos.
Elegimos W1={vi} U Z1, / Z1 = conj. de vertices alcanzables desde vi.
Elegimos W2={vj} U Z2 U X, /Z2 = conj. de vertices alcanzables desde vj y X conj. de vertices NO alcanzables desde vi y vj.
Si no hay camino entre vi y vj. W1∩W2 = {}. Pero sabemos que debe haber un arco entre W1 y W2, por lo tanto sera desde un vertice alcanzable por vi (o desde vi) hacia uno NO alcanzable, pero entonces habra un camino de vi a vj o a algun vertice de X. ABS

Ejercicio 05.07:

Por induccion en n:

• CB: n=2

m > (n-1)(n-2)/2 = 0. G es conexo <=> G=K2 -> m = 1 > 0 -> OK

• PI:

Sea G'= G-v, tq { si m(G') > ((n-1)-1)((n-1)-2)/2 = (n-2)(n-3)/2 -> G' es conexo }. qvq si m(G) > (n-1)(n-2)/2 -> G es conexo

m(G) = m(G')+d(v)

• Sup. m(G') > (n-2)(n-3)/2
  • Si d(v) > 0 -> v conecta con algun vert. de G' -> Como G' es conexo, G sigue siendo conexo
  • Si d(v) = 0 -> m(G) = m(G') > (n-1)(n-2)/2. Pero G' no puede tener mas ejes que el grafo completo K(n-1) -> ABS
• Sup. m(G') <= (n-2)(n-3)/2
  • (n-1)(n-2)/2 < m(G) = m(G') + d(v) <= (n-2)(n-3)/2 + d(v) -> d(v) > n-1 -> ABS

Ejercicio 05.08:

a) Sup. hay dos caminos C1={vi,wi,..,wn,vf} y C2={vi,xl,..,xm,vf} tq {wi,..,wn}∩{xl,..,xm}={}. Entonces, si se elige otro camino C3 = {vi,wi,..,wn,vf,xm,..,x1,vi} se obtiene un circuito.
b)

Ejercicio 05.09:

Sean G conexo y 2 de los caminos de long. maxima C1 = {vi,vi+1,..,wi+k} y C2 = {wi,wi+1,..,wi+k}. Sup. que no tienen un vertice en comun. Como es conexo, hay un camino de Vi a Vj.

• 1. Si vi y vj estan conectados -> ABS (el camino simple de long. maxima seria la union de C1 y C2, que es mas largo que la long. maxima)
• 2. Si no estan conectados a traves que no estan en C1 o C2, esos vertices podrian ser agregados a C1 o C2 -> ABS (C1 y C2 ya no tendria long maxima)

Ejercicio 05.10:

a)
Si un digrafo es fuertemente conexo -> se puede ir desde cualquier vertice a otro, lo que es la def. de grafo conexo, por lo que si hay camino orientado entre dos vertices cualquiera tambien habra uno no orientado entre esos vertices.
La reciproca no vale, por ej: o->o<-o. Si bien el grafo subyacente es conexo, no es posible llegar de un vertice cualquiera a otro.

b)
=>) !
<=) Sup G' es f. conexo. Si G' = G listo. Si G != G, Ex. v en G-G'
Como G es conexo, Ex. camino C de v a w (w en G'). Me quedo con el ultimo eje de C.
Ex. v' no en G' / e = (v',w).
Por HI e pertenece a un ciclo => G'U{C} es f. conexo -> G es f.conexo

c)

Ejercicio 05.11:

a)
b) (Hay que hallar las cliques maximas)

Ejercicio 05.12:

=>) Si d1,..,dn es una secuencia valida de grados de un grafo -> Σ di = 2*m = par
<=) Mm.. esto creo que sale usando el algoritmo que esta en 5.13

Ejercicio 05.13:

a) Esto lo saque de una pagina:
Una secuencia numérica decreciente representa una lista de grados de una gráfica si el siguiente algoritmo devuelve una lista de ceros: (Algoritmo de Havel-Hakimi)

• P.1 Leer la lista creciente (a1,a2,...,ap).
• P.2 Mientras el primer elemento sea a1>0
  • P.3 Eliminar el elemento a1 de la lista.
  • P.4 Restar 1 a los primeros a1 elementos de la nueva lista.
  • P.5 Ordenar (decreciente) la nueva lista.
• P.6 Retornar la lista (a1,a2,...).

Usando esto se deberia llegar a que las del ej. no lo son.

b)

Ejercicio 05.14:

Si G tiene m ejes -> Gc tiene n(n-1)/2 - m ejes
Sea V={v1,..,vn} / v1,..,vn-1 tienen grado impar y vn tiene grado par.
Sea vi de grado impar -> dG(vi) = 2k+1. Si dG(vi) = 2k+1 -> dGc(vi) = (n-1)-(2k+1)=n-2-2k
->Si n es impar habra n-1 vertices de grado impar, sino habra 1

Ejercicio 05.15:

R es el conj. de grafos tq:

• Г(v) inc Г(w) o Г(w) inc Г(v) v,w ady
• Г'(v) inc Г'(w) o Г'(w) inc Г'(v) v,w no ady

OBS: 1. Sean S,T conj. Si |S|=|T| y S inc T o T inc S -> S=T
     2. |Г(v)|=d(v) y |Г'(v)|=d(v)+1
     3. v en Г(w) <=> v,w ady
     4. Sean S,T conj. Si |S|>=|T| y S inc T o T inc S -> T inc s

a)
Sup. no vale prop. -> Ex. u,v,w / d(u)=d(v)=d(w) y u en Г(v) y u no en Г(w)
|Г'(u)| = d(u)+1 = d(v)+1 = |Г'(v)| y 2. ->(1.) Г'(u) = Г'(v) -> v no en Г(w)
|Г(w)| = d(w)+1 = d(u)+1 = |Г(u)| y 1. -> Г(w) = Г(u) -> v en Г(w) ABS
-> Solo pueden ser todos ady o todos no ady.

b)
Sup. no vale prop. -> Todo vertices tiene un ady o un no ady.
Sean v el vertice de mayor grado, w no en Г(v)
|Г(w)|<=|Г(v)| y 1. ->(4). Г(v) inc Г(w)
d(w)>0 -> Ex. z en Г(w) -> z en Г(v)
|Г'(z)| = d(z)+1 <= d(v)+1 = |Г'(v)| y 2. -> Г(z) inc Г(v) -> w en Г(v) ABS

Ejercicio 05.16:

a)
b)
c)
d)

Ejercicio 05.18:

1. () 2. Si 3. () 4. Si

Ejercicio 05.19:

a) Vale por la biyeccion entre V y V'
b) Sup. que |E|>|E'| => existe e en E / e = (v,w) y no existe (f(v),f(w)) ABS
c) Es equivalente a decir que d(v) = d(f(v))
d) Vale por la biyeccion entre circuitos simples entre G y H
e) Vale por la biyeccion entre comp. conexas entre G y H
f)
g)

Ejercicio 05.20:

a)
b)

Ejercicio 05.21:

a)
b)

Ejercicio 05.22:

a) o-o-o-o
b) Si G es autocomplementario entonces m = n(n-1)/2 - m -> 2m = n(n-1)/2 -> m = n(n-1)/4 (entonces m ≡ 0(4)). Viendo las congruencias modulo 4:
n=4k -> 4k(4k-1)/4 ≡ 0(4)
n=4k+1 -> (4k+1)(4k+1-1)/4 = (4k+1)4k/4 ≡ 0(4)
n=4k+2 -> (4k+2)(4k+2-1)/4 = (4k+2)(4k+1)/4 ≡ 2(4)
n=4k+3 -> (4k+3)(4k+3-1)/4 = (4k+3)(4k+2)/4 ≡ 2(4)
-> Con lo cual solo puede pasar que n=4k o n=4k+1

Ejercicio 05.23:

a)

Mat. Adyacencia:

  ABCDEF   ABCDEF
A 011100 A 001100
B 101010 B 100000 
C 110111 C 010001
D 101011 D 001011
E 011101 E 011100
F 001110 F 000010

  ABCDEFG   ABCDEFG
A 0111111 A 0110011 
B 1000000 B 0000000 
C 1001100 C 0000100
D 1010100 D 1010000
E 1011001 E 1001000
F 1000001 F 0000001
G 1000110 G 0000100

b)
c)
d)
e)
f)
g)

Ejercicio 05.24:

Asegurando la simetria, es decir, que para todo i,j, Aij = Aji

Ejercicio 05.25:

a) Si se toman como filas/columnas de la matriz de adyancencia de un grafo bipartito a v1,..,vm,w1,..,wn, donde v1,..,vm son los vertices de una particion y w1,..wn los de la otra, entonces la matriz se puede dividir de la siguiente forma:

M = [ 0 A ]
    [ B 0 ]

b)

Ejercicio 05.26:

Se puede hacer A^(n-1) y tomar todos los distintos de 0 como 1 (ya que son alcanzables)

Ejercicio 05.28:

a) Usando la prop. de 5.25 b)

for i = 1..n (i impar)
	si (diagonal A^i no es nula)
		devolver falso;
devolver verdadero;

b)

for i = 1..n (i impar)
	for j = 1..n (i impar)
		invertir A[i,j];

c) a. O(n^4), b. O(n^2)

Ejercicio 05.29:

a)
b)
c)

Ejercicio 05.30:

a)
b)
c)