Diferencia entre revisiones de «Interpolación (Métodos Numéricos)»

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Sin resumen de edición
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Muchas veces nos encontramos con un conjunto de puntos $(x_i, f(x_i))$ que
Muchas veces nos encontramos con un conjunto de puntos <math>(x_i, f(x_i))</math> que
provienen de una función desconocida $f$ y nos gustaría poder ``estimar''
provienen de una función desconocida <math>f</math> y nos gustaría poder ``estimar''
el valor de la función en algún punto $\xi \in [x_0,x_n]$ para el cual no tenemos datos.
el valor de la función en algún punto <math>\xi \in [x_0,x_n]</math> para el cual no tenemos datos.
Otra razón para interpolar puede ser que la función original es demasiado complicada
Otra razón para interpolar puede ser que la función original es demasiado complicada
para tratar con ella y queremos simplificarla tomando sólo la información contenida
para tratar con ella y queremos simplificarla tomando sólo la información contenida
en algunos puntos y ``sintetizando'' una función más simple.
en algunos puntos y "sintetizando" una función más simple.
Las funciones interpoladoras hacen justamente lo que estamos buscando.
Las funciones interpoladoras hacen justamente lo que estamos buscando.


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para intervalos medianamente grandes.
para intervalos medianamente grandes.


\subsection{Polinomio interpolador de Lagrange}


A partir de $n+1$ puntos ${x_0,x_1,\dots,x_n}$ podemos obtener
==Polinomio interpolador de Lagrange==
 
A partir de <math>n+1</math> puntos <math>{x_0,x_1,\dots,x_n}</math> podemos obtener
el polinomio de menor grado que pasa por todos ellos.
el polinomio de menor grado que pasa por todos ellos.
Se construye un cociente $L_{n,k}(x)$ con la propiedad de que $L_{n,k}(x_{i})=0$
Se construye un cociente <math>L_{n,k}(x)</math> con la propiedad de que <math>L_{n,k}(x_{i})=0</math>
cuando $i\neq k$ y $L_{n,k}(x_k)=1$. Un polinomio que
cuando <math>i\neq k</math> y <math>L_{n,k}(x_k)=1</math>. Un polinomio que
cumple esto es el siguiente:
cumple esto es el siguiente:
\begin{displaymath}
 
L_{n,k}(x) =
 
\frac{(x-x_{0})(x-x_{1})\cdots(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots(x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{1})\cdots(x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})\cdots(x_{k}-x_{n})} =  
<center><math>L_{n,k}(x) =\frac{(x-x_{0})(x-x_{1})\cdots(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots(x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{1})\cdots(x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})\cdots(x_{k}-x_{n})} = \prod_{\stackrel{i=0}{i\neq k}}^{n}\frac{(x-x_{i})}{(x_{k}-x_{i})}
\prod_{\stackrel{i=0}{i\neq k}}^{n}\frac{(x-x_{i})}{(x_{k}-x_{i})}
</math></center>
\end{displaymath}


\begin{figure}[h]
\begin{figure}[h]
\centering
\centering
\includegraphics[width=12cm]{burdenlnk.png}
\includegraphics[width=12cm]{burdenlnk.png}
\caption{Polinomio $L_{n,k}(x)$.}
\caption{Polinomio <math>L_{n,k}(x)</math>.}
\end{figure}
\end{figure}


\begin{theorem}
=== Teorema ===
Si ${x_0,x_1,\dots,x_n}$ son $n+1$ números distintos y si $f$
Si <math>{x_0,x_1,\dots,x_n}</math> son <math>n+1</math> números distintos y si <math>f</math>
es una función cuyos valores están dados en esos números, entonces
es una función cuyos valores están dados en esos números, entonces
\textbf{existe} un \textbf{único} polinomio $P$ de grado a lo sumo $n$, con la propiedad
'''existe''' un '''único''' polinomio <math>P</math> de grado a lo sumo <math>n</math>, con la propiedad
de que $f(x_{k})=P(x_{k})$ para $k=0,\ldots,n$. Este polinomio está dado
de que <math>f(x_{k})=P(x_{k})</math> para <math>k=0,\ldots,n</math>. Este polinomio está dado
por:
por:
\begin{displaymath}
P(x)=\sum_{k=0}^{n}f(x_i)L_{n,k}(x)
\end{displaymath}
\end{theorem}


\begin{theorem}
 
Sean ${x_0,x_1,\dots,x_n}$ en $[a,b]$, $f \in C^{n+1}[a,b]$
<center><math>P(x)=\sum_{k=0}^{n}f(x_i)L_{n,k}(x)</math></center>
entonces para todo $x$ en $[a,b]$,
 
existe $\xi$ en $[a,b]$, que depende de $x$, tal que:
 
\begin{displaymath}
 
f(x)=P(x)+\frac{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n(x - x_i)
=== Teorema ===
\end{displaymath}
Sean <math>{x_0,x_1,\dots,x_n}</math> en <math>[a,b]</math>, <math>f \in C^{n+1}[a,b]</math>
\end{theorem}
entonces para todo <math>x</math> en <math>[a,b]</math>,
existe <math>\x_i</math> en <math>[a,b]</math>, que depende de <math>x</math>, tal que:
 
 
<center><math>f(x)=P(x)+\frac{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n(x - x_i)</math></center>
 
 


El uso de los polinomios de Lagrange plantea dos problemas inmediatos:
El uso de los polinomios de Lagrange plantea dos problemas inmediatos:
uno es que el término del error es difícil de aplicar. El otro problema
uno es que el término del error es difícil de aplicar. El otro problema
es que teniendo una aproximación de grado $n$, si se quiere obtener
es que teniendo una aproximación de grado <math>n</math>, si se quiere obtener
ahora la de grado $n+1$, no hay forma de aprovechar los cálculos
ahora la de grado <math>n+1</math>, no hay forma de aprovechar los cálculos
ya hechos para ahorrar trabajo en el cálculo del nuevo polinomio.
ya hechos para ahorrar trabajo en el cálculo del nuevo polinomio.
Como el polinomio es único, veremos que se puede encontrar otra forma
Como el polinomio es único, veremos que se puede encontrar otra forma
Línea 63: Línea 65:
costo tan alto.
costo tan alto.


\begin{definition}
=== Definición ===
Sean $k$ números enteros distintos $m_1,\dots,m_k$ que cumplen
Sean <math>k</math> números enteros distintos <math>m_1,\dots,m_k</math> que cumplen
$0 \le m_i \le n$ para cada $i$, se define a
<math>0 \le m_i \le n</math> para cada <math>i</math>, se define a
$P_{m_{1},m_{2},\dots,m_{k}}(x)$ como el polinomio interpolante en
<math>P_{m_{1},m_{2},\dots,m_{k}}(x)</math> como el polinomio interpolante en
los puntos $x_{m_{1}},x_{m_{2}},\dots,x_{m_k}$.
los puntos <math>x_{m_{1}},x_{m_{2}},\dots,x_{m_k}</math>.
\end{definition}
 
 
=== Teorema recinterpol ===
Sea <math>f</math> definida en <math>n+1</math> puntos distintos <math>x_{0},\dots,x_{n}</math>
con <math>x_i</math> y <math>x_j</math> dos puntos del conjunto distintos entre si
y <math>P(x)</math> el polinomio de Lagrange de grado a lo sumo <math>n</math> que interpola a <math>f</math>
en esos <math>n+1</math> puntos, entonces el polinomio puede expresarse como
 
 
<center><math>P(x)=\frac{(x-x_{j})P_{0,1,\dots,j-1,j+1,\ldots,n}(x)-(x-x_{i})P_{0,1,\dots,i-1,i+1,\ldots,n}(x)}{(x_{i}-x_{j})}</math></center>


\begin{theorem}
\label{recinterpol}
Sea $f$ definida en $n+1$ puntos distintos $x_{0},\dots,x_{n}$
con $x_i$ y $x_j$ dos puntos del conjunto distintos entre si
y $P(x)$ el polinomio de Lagrange de grado a lo sumo $n$ que interpola a $f$
en esos $n+1$ puntos, entonces el polinomio puede expresarse como
$$P(x)=\frac{(x-x_{j})P_{0,1,\dots,j-1,j+1,\ldots,n}(x)-(x-x_{i})P_{0,1,\dots,i-1,i+1,\ldots,n}(x)}{(x_{i}-x_{j})}$$
\end{theorem}


De acuerdo con el \textbf{Teorema \ref{recinterpol}},
De acuerdo con el '''Teorema recinterpol''',
los polinomios interpolantes pueden generarse
los polinomios interpolantes pueden generarse
de manera recursiva aprovechando polinomios ya calculados.
de manera recursiva aprovechando polinomios ya calculados.


\subsection{Forma de Newton del polinomio interpolador}


\begin{definition}
==Forma de Newton del polinomio interpolador==
 
=== Definición ===
La diferencia dividida cero de <math>f</math> respecto
La diferencia dividida cero de <math>f</math> respecto
a <math>x_{i}</math> se define como
a <math>x_{i}</math> se define como <math>f[x_{i}]= f(x_{i})</math>
 
<math>f[x_{i}]= f(x_{i})</math>


y la k-ésima diferencia
y la k-ésima diferencia
dividida relativa a <math>x_{i}, x_{i+1},\dots,x_{i+k}</math> está dada por
dividida relativa a <math>x_{i}, x_{i+1},\dots,x_{i+k}</math> está dada por


<math>f[x_{i},x_{i+1},\dots,x_{i+k}]=\frac{f[x_{i+1},x_{i+2},\dots,x_{i+k}]-f[x_{i},x_{i+1},\dots,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_{i}}</math>
<center><math>f[x_{i},x_{i+1},\dots,x_{i+k}]=\frac{f[x_{i+1},x_{i+2},\dots,x_{i+k}]-f[x_{i},x_{i+1},\dots,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_{i}}</math> </center>


\end{definition}


\begin{theorem}
Se puede demostrar que el polinomio interpolador $P_{n}(x)$ se puede expresar como


<math>P_{n}(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+\dots+a_{n}(x-x_{0})(x-x_{1})\cdots(x-x_{n-1})</math>
=== Teorema ===
Se puede demostrar que el polinomio interpolador <math>P_{n}(x)</math> se puede expresar como
 
<center><math>P_{n}(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+\dots+a_{n}(x-x_{0})(x-x_{1})\cdots(x-x_{n-1})</math></center>


donde <math>a_{k}=f[x_{0},\dots,x_{k}]</math>.
donde <math>a_{k}=f[x_{0},\dots,x_{k}]</math>.
\end{theorem}
 


Usando esta definición se puede ir armando el polinomio interpolador
Usando esta definición se puede ir armando el polinomio interpolador
Línea 116: Línea 118:
\end{figure}
\end{figure}


\subsection{Splines}
 
==Splines==


Los polinomios tienen una gran desventaja como interpoladores y es
Los polinomios tienen una gran desventaja como interpoladores y es
Línea 130: Línea 133:
se tiene la seguridad de que haya diferenciabilidad en los extremos
se tiene la seguridad de que haya diferenciabilidad en los extremos
de los subintervalos lo cual geométricamente significa que la función
de los subintervalos lo cual geométricamente significa que la función
interpolante no es ``suave'' en esos puntos.
interpolante no es "suave" en esos puntos.


El tipo más simple de función de polinomio fragmentario diferenciable
El tipo más simple de función de polinomio fragmentario diferenciable
en un intervalo entero $[x_{0},x_{n}]$ es la función obtenida al
en un intervalo entero <math>[x_{0},x_{n}]</math> es la función obtenida al
ajustar un polinomio cuadrático entre cada par consecutivo de nodos.
ajustar un polinomio cuadrático entre cada par consecutivo de nodos.
Esto se hace construyendo una cuadrática en $[x_{0},x_{1}]$ que concuerde
Esto se hace construyendo una cuadrática en <math>[x_{0},x_{1}]</math> que concuerde
con la función en $x_{0}$ y en $x_{1}$, otra cuadrática en $[x_{1},x_{2}]$
con la función en <math>x_{0}</math> y en <math>x_{1}</math>, otra cuadrática en <math>[x_{1},x_{2}]</math>
que concuerde con la función en $x_{1}$ y en $x_{2}$ y así sucesivamente.
que concuerde con la función en <math>x_{1}</math> y en <math>x_{2}</math> y así sucesivamente.
Un polinomio cuadrático general tiene tres constantes arbitrarias,
Un polinomio cuadrático general tiene tres constantes arbitrarias,
y únicamente se requieren dos condiciones para ajustar los datos en
y únicamente se requieren dos condiciones para ajustar los datos en
los extremos de cada intervalo, por ello existe una flexibilidad que
los extremos de cada intervalo, por ello existe una flexibilidad que
permite seleccionar la cuadrática de modo que la interpolante tenga
permite seleccionar la cuadrática de modo que la interpolante tenga
una derivada continua en $[x_{0},x_{n}]$. El problema se presenta
una derivada continua en <math>[x_{0},x_{n}]</math>. El problema se presenta
cuando hay que especificar las condiciones referentes a la derivada
cuando hay que especificar las condiciones referentes a la derivada
de la interpolante en los extremos $x_{0}$ y $x_{n}$: no hay constantes
de la interpolante en los extremos <math>x_{0}</math> y <math>x_{n}</math>: no hay constantes
suficientes para cerciorarse de que se satisfagan las condiciones.
suficientes para cerciorarse de que se satisfagan las condiciones.


Línea 157: Línea 160:
en los nodos.
en los nodos.


\paragraph{Definición:} Dada una función $f$ definida en $[a,b]$ y
=== Definición ===
un conjunto de nodos $a=x_{0}<x_{1}<\dots<x_{n}=b$ un spline cúbico
Dada una función <math>f</math> definida en <math>[a,b]</math> y
$S$ para $f$ es una función que cumple con las siguientes condiciones:
un conjunto de nodos <math>a=x_{0}<x_{1}<\dots<x_{n}=b</math> un spline cúbico
<math>S</math> para <math>f</math> es una función que cumple con las siguientes condiciones:


\begin{enumerate}
* <math>S(x)</math> es un polinomio cúbico denotado <math>S_{j}(x)</math> en el subintervalo <math>[x_{j},x_{j+1}]</math> para <math>j</math> de <math>0</math> a <math>n-1</math>
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi}.}
* <math>S(x_{j})=f(x_{j})</math> para <math>j</math> de <math>0</math> a <math>n</math>
\setlength{\itemsep}{0pt}
* <math>S_{j+1}(x_{j+1})=S_{j}(x_{j+1})</math> para <math>j</math> de <math>0</math> a <math>n-2</math>
\item $S(x)$ es un polinomio cúbico denotado $S_{j}(x)$ en el subintervalo $[x_{j},x_{j+1}]$ para $j$ de $0$ a $n-1$
* <math>S'_{j+1}(x_{j+1})=S'_{j}(x_{j+1})</math> para <math>j</math> de <math>0</math> a <math>n-2</math>
\item $S(x_{j})=f(x_{j})$ para $j$ de $0$ a $n$
* <math>S{''}_{j+1}(x_{j+1})=S''_{j}(x_{j+1})</math> para <math>j</math> de <math>0</math> a <math>n-2</math>
\item $S_{j+1}(x_{j+1})=S_{j}(x_{j+1})$ para $j$ de $0$ a $n-2$
* Se satisface una de las siguientes condiciones de frontera:
\item $S'_{j+1}(x_{j+1})=S'_{j}(x_{j+1})$ para $j$ de $0$ a $n-2$
** <math>S''(x_{0})=S''(x_{n})=0</math> (spline libre o '''natural''')
\item $S{''}_{j+1}(x_{j+1})=S''_{j}(x_{j+1})$ para $j$ de $0$ a $n-2$
** <math>S'(x_{0})=f'(x_{0}) \textrm{\ y\ } S'(x_{n})=f'(x_{n}) </math> (spline '''sujeto''')
\item{
Se satisface una de las siguientes condiciones de frontera:
\begin{itemize}
\setlength{\itemsep}{0pt}
\item $S''(x_{0})=S''(x_{n})=0$ (spline libre o \textbf{natural})
\item $S'(x_{0})=f'(x_{0}) \textrm{\ y\ } S'(x_{n})=f'(x_{n}) $ (spline \textbf{sujeto})
\end{itemize}
}
\end{enumerate}


Generalmente en las condiciones de frontera sujeta se logran aproximaciones
Generalmente en las condiciones de frontera sujeta se logran aproximaciones
Línea 185: Línea 180:
o la sujeta.
o la sujeta.


Cuando deseo interpolar un conjunto de puntos $x_{0},\dots,x_{n}$, el
Cuando deseo interpolar un conjunto de puntos <math>x_{0},\dots,x_{n}</math>, el
planteo de todas las condiciones mencionadas para $S(x)$ se puede
planteo de todas las condiciones mencionadas para <math>S(x)</math> se puede
llevar a la forma de un sistema de ecuaciones tridiagonal que queda
llevar a la forma de un sistema de ecuaciones tridiagonal que queda
en función de uno de los cuatro coeficientes de cada spline y resulta
en función de uno de los cuatro coeficientes de cada spline y resulta
ser estrictamente diagonal dominante, por lo que tiene solución única,
ser estrictamente diagonal dominante, por lo que tiene solución única,
puede almacenarse usando poco espacio y resolverse relativamente rápido.
puede almacenarse usando poco espacio y resolverse relativamente rápido.

Revisión actual - 14:33 29 nov 2012

Muchas veces nos encontramos con un conjunto de puntos Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x_i, f(x_i))} que provienen de una función desconocida Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} y nos gustaría poder ``estimar el valor de la función en algún punto Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi \in [x_0,x_n]} para el cual no tenemos datos. Otra razón para interpolar puede ser que la función original es demasiado complicada para tratar con ella y queremos simplificarla tomando sólo la información contenida en algunos puntos y "sintetizando" una función más simple. Las funciones interpoladoras hacen justamente lo que estamos buscando.

Es útil poder interpolar con polinomios porque son una clase de funciones muy conocida, que tiene derivadas e integrales fáciles de calcular y que también son polinomios. Los polinomios de Taylor concentran su exactitud alrededor del punto sobre el que están centrados, pero a medida que se aleja del centro deja de ser una buena aproximación, por lo que en general no sirven para intervalos medianamente grandes.


Polinomio interpolador de Lagrange

A partir de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n+1} puntos Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {x_0,x_1,\dots,x_n}} podemos obtener el polinomio de menor grado que pasa por todos ellos. Se construye un cociente Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_{n,k}(x)} con la propiedad de que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_{n,k}(x_{i})=0} cuando Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i\neq k} y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_{n,k}(x_k)=1} . Un polinomio que cumple esto es el siguiente:


Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_{n,k}(x) =\frac{(x-x_{0})(x-x_{1})\cdots(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots(x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{1})\cdots(x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})\cdots(x_{k}-x_{n})} = \prod_{\stackrel{i=0}{i\neq k}}^{n}\frac{(x-x_{i})}{(x_{k}-x_{i})} }

\begin{figure}[h] \centering \includegraphics[width=12cm]{burdenlnk.png} \caption{Polinomio Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_{n,k}(x)} .} \end{figure}

Teorema

Si Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {x_0,x_1,\dots,x_n}} son Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n+1} números distintos y si Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} es una función cuyos valores están dados en esos números, entonces existe un único polinomio Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} de grado a lo sumo Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} , con la propiedad de que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x_{k})=P(x_{k})} para Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k=0,\ldots,n} . Este polinomio está dado por:


Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(x)=\sum_{k=0}^{n}f(x_i)L_{n,k}(x)}


Teorema

Sean Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {x_0,x_1,\dots,x_n}} en Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [a,b]} , Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f \in C^{n+1}[a,b]} entonces para todo Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} en Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [a,b]} , existe Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \x_i} en Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [a,b]} , que depende de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} , tal que:


Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)=P(x)+\frac{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n(x - x_i)}


El uso de los polinomios de Lagrange plantea dos problemas inmediatos: uno es que el término del error es difícil de aplicar. El otro problema es que teniendo una aproximación de grado Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} , si se quiere obtener ahora la de grado Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n+1} , no hay forma de aprovechar los cálculos ya hechos para ahorrar trabajo en el cálculo del nuevo polinomio. Como el polinomio es único, veremos que se puede encontrar otra forma de construirlo que permita agregar más puntos en el futuro sin un costo tan alto.

Definición

Sean Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} números enteros distintos Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1,\dots,m_k} que cumplen Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 \le m_i \le n} para cada Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} , se define a Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_{m_{1},m_{2},\dots,m_{k}}(x)} como el polinomio interpolante en los puntos Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_{m_{1}},x_{m_{2}},\dots,x_{m_k}} .


Teorema recinterpol

Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} definida en Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n+1} puntos distintos Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_{0},\dots,x_{n}} con Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_i} y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_j} dos puntos del conjunto distintos entre si y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(x)} el polinomio de Lagrange de grado a lo sumo Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} que interpola a Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} en esos Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n+1} puntos, entonces el polinomio puede expresarse como


Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(x)=\frac{(x-x_{j})P_{0,1,\dots,j-1,j+1,\ldots,n}(x)-(x-x_{i})P_{0,1,\dots,i-1,i+1,\ldots,n}(x)}{(x_{i}-x_{j})}}


De acuerdo con el Teorema recinterpol, los polinomios interpolantes pueden generarse de manera recursiva aprovechando polinomios ya calculados.


Forma de Newton del polinomio interpolador

Definición

La diferencia dividida cero de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} respecto a Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_{i}} se define como Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f[x_{i}]= f(x_{i})}

y la k-ésima diferencia dividida relativa a Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_{i}, x_{i+1},\dots,x_{i+k}} está dada por


Teorema

Se puede demostrar que el polinomio interpolador se puede expresar como

donde .


Usando esta definición se puede ir armando el polinomio interpolador de una serie de puntos de forma incremental, de manera que para agregar un punto más al polinomio se puede aprovechar lo ya calculado.

\begin{figure}[h] \centering \includegraphics[width=16cm]{difdiv.png} \caption{Diferencias divididas.} \end{figure}


Splines

Los polinomios tienen una gran desventaja como interpoladores y es que cuanto mayor es el grado, más oscilan. Un procedimiento alternativo consiste en dividir el intervalo en una serie de subintervalos y en cada subintervalo construir un polinomio distinto de aproximación, basándose en la idea de que si cada intervalo usa un polinomio de un grado pequeño, se obtendrá un resultado mucho mejor que con Lagrange.

La aproximación polinómica fragmentaria más simple consiste en unir una serie de puntos mediante una serie de segmentos de rectas. La aproximación por funciones lineales ofrece una desventaja, que no se tiene la seguridad de que haya diferenciabilidad en los extremos de los subintervalos lo cual geométricamente significa que la función interpolante no es "suave" en esos puntos.

El tipo más simple de función de polinomio fragmentario diferenciable en un intervalo entero es la función obtenida al ajustar un polinomio cuadrático entre cada par consecutivo de nodos. Esto se hace construyendo una cuadrática en que concuerde con la función en y en , otra cuadrática en que concuerde con la función en y en y así sucesivamente. Un polinomio cuadrático general tiene tres constantes arbitrarias, y únicamente se requieren dos condiciones para ajustar los datos en los extremos de cada intervalo, por ello existe una flexibilidad que permite seleccionar la cuadrática de modo que la interpolante tenga una derivada continua en . El problema se presenta cuando hay que especificar las condiciones referentes a la derivada de la interpolante en los extremos y : no hay constantes suficientes para cerciorarse de que se satisfagan las condiciones.

La aproximación polinómica fragmentaria más común utiliza polinomios de grado tres entre cada par consecutivo de puntos y recibe el nombre de interpolación por trazadores cúbicos (o spline cúbico). Un polinomio cúbico general contiene cuatro constantes para variar, así ofrece suficiente flexibilidad para garantizar que el interpolante no sólo sea continuamente diferenciable en el intervalo, sino que además tenga una segunda derivada continua en el intervalo, aunque no se espera que las derivadas segundas coincidan con las de la función ni siquiera en los nodos.

Definición

Dada una función definida en y un conjunto de nodos un spline cúbico para es una función que cumple con las siguientes condiciones:

  • es un polinomio cúbico denotado en el subintervalo para de a
  • para de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0} a Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n}
  • Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_{j+1}(x_{j+1})=S_{j}(x_{j+1})} para Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle j} de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0} a Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n-2}
  • Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S'_{j+1}(x_{j+1})=S'_{j}(x_{j+1})} para Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle j} de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0} a Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n-2}
  • Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S{''}_{j+1}(x_{j+1})=S''_{j}(x_{j+1})} para Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle j} de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0} a Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n-2}
  • Se satisface una de las siguientes condiciones de frontera:
    • Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S''(x_{0})=S''(x_{n})=0} (spline libre o natural)
    • Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S'(x_{0})=f'(x_{0}) \textrm{\ y\ } S'(x_{n})=f'(x_{n}) } (spline sujeto)

Generalmente en las condiciones de frontera sujeta se logran aproximaciones más exactas, ya que usan más información acerca de la función, pero se requiere tener valores de la derivada en los extremos. Existen también otras condiciones de frontera posibles además de la natural o la sujeta.

Cuando deseo interpolar un conjunto de puntos Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_{0},\dots,x_{n}} , el planteo de todas las condiciones mencionadas para Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S(x)} se puede llevar a la forma de un sistema de ecuaciones tridiagonal que queda en función de uno de los cuatro coeficientes de cada spline y resulta ser estrictamente diagonal dominante, por lo que tiene solución única, puede almacenarse usando poco espacio y resolverse relativamente rápido.

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