Final 13/11/2012 (Probabilidad y Estadística)

Ejercicio 1

a) Enunciar y demostrar la fórmula de la probabilidad total y el Teorema de Bayes.

b) Mientras mirás un partido de River - Boca en el bar del Pabellón II descubrís que la persona sentada en una mesa vecina claramente es hincha de River. Calcular la probabilidad de que esta persona haya nacido a menos de 10km de la cancha de River, asumiendo que:

• i) La probabilidad de que una persona elegida al azar en un bar del Pabellón II haya nacido a menos de 10km de la cancha de River es ${\frac {1}{20}}$

• ii) La probabilidad de que una persona nacida a menos de 10km de la cancha de River sea hincha de este club es ${\frac {7}{20}}$.

• iii) La probabilidad de que una persona nacida a más de 10km de la cancha de River sea hincha de este club es ${\frac {1}{10}}$.

Ejercicio 2

Sea $(X,Y)$ un vector aleatorio con distribución uniforme en el rectángulo de vértices $(-1,1),(2,1),(2,-2),(-1,-2)$.

• a) Calcular la función de densidad conjunta del vector $(X,Y)$ y sus distribuciones marginales. ¿Son las variables $X$ e $Y$ independientes?

• b) Calcular $\mathbb {E} [XY]$.

• c) Calcular $\mathbb {P} [X+2Y\leq 2]$.

Ejercicio 3

Sean $X_{1},\dots ,X_{n}$ i.i.d. con distribución $U(0,\theta ),\theta >0$.

a) Hallar el estimador de máxima verosimilitud de $\theta$.

b) Hallar el estimador de momentos de $\theta$.

c) Definir el error cuadrático medio de un estimador (ECM) y expresarlo en función de la varianza y el sesgo del estimador.

d) ¿Cuál de los dos estimadores (momentos o máxima verosimilitud) elegirías en base al criterio de minimizar la ECM?

Ejercicio 4

a) Enunciar el Teorema Central del Límite. Enunciar y justificar la aproximación a la distribución binomial por una distribución normal.

b) Sea $X_{1},\dots ,X_{n}$ una muestra aleatoria con distribución Bernoulli de parámetro $p$. Hallar un intervalo de confianza de nivel aproximado $1-\alpha$ para $p$.

c) Plantear un test de hipótesis de nivel aproximado $\alpha$ para las hipótesis:

• $H_{0}:p=p_{0}$
• $H_{1}:p\neq p_{0}$

definiendo el estadístico usado y la región de rechazo.