Final 07/03/2014 (Análisis II)

Ejercicio 1

Sea $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$, $f\in C^{1}$ tal que: a. f(1,2)<0 b. Sea Pk con k perteneciente a los naturales tal que lim f(Pk)=infinito cuando n tiende a infinito

probar que: a. existe p perteneciente a R2 tal que f(p)=0 b. Si f(p)=f(q)=0 para q diferente de p entonces el grad de f en un punto po (intermedio entre el vector que une q con p) es perpendicular al vector que une q con p

Ejercicio 2

Sea Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle f:\[0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}} una función continua, que cumple las siguentes propiedades:

1. $f(x)\geq 0$ para todo Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\in \[0,+\infty )}
2. Existe un Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle a \> 0 } tal que $f(x)\geq a$ $\forall x\in \left[{\dfrac {1}{2}}\,,\,1\right]$.
3. $f(x)=f(x+n)\forall n\in \mathbb {N}$.

Demostrar que cumple estas otras propiedades:

1. Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx \,\>\, 0}
2. $\forall n\in \mathbb {N} ,\,\int _{0}^{1}f(x)\,dx=\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx$
3. $\int _{0}^{+\infty }f(x)\,dx\,=+\infty$

Ejercicio 3

Demostrar que si $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ es diferenciable en $P$, entonces, dado $v\in \mathbb {R} ^{2}$ de norma 1, existe la derivada direccional ${\frac {\delta f}{\delta v}}$ y vale $\nabla f(P)\cdot v$.

Ejercicio 4

Demostrar Multiplicadores de Lagrange para $\mathbb {R} ^{2}$ o $\mathbb {R} ^{3}$ (a elección).