Final 22/02/2013 (Probabilidad y Estadística)

Ejercicio 1

a) Enuncie y demuestre la desigualdad de Tchebycheff.

b) Enuncie y demuestre la Ley de los Grandes Números.

c) Sea $X_{1},...,X_{n}$ experimentos Bernoulli de parametro $p$. Sea $S_{n}=X_{1}+...+X_{n}$. Sea $t>0$. ¿Cómo debe ser $n$ para que

$P(|(S_{n}/n)-p|>t)<0,001$

independientemente del valor de $p$ (desconocido)?

Ejercicio 2

Sean $X_{1},...,X_{n}$ v.a. iid con distribución $P(\lambda )$

a) Hallar el E.M.V. de $\lambda$

b) Hallar el E.M.V. de $P(X=0).$ ($X$ tmb es una Poisson de parametro $\lambda$)

Ejercicio 3

Juan y Pinchame combinan para encontrarse en el río entre las 14 y las 15 horas, dando por entendido que ninguno esperará al otro más de 15 minutos. Asumir que iguales intervalos de tiempo tienen asignados iguales probabilidades de llegada y que ambos actúan de forma independiente. a) Halle la probabilidad de que Juan llegue antes que Pinchame. b) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan y Pinchame se encuentren?

Ejercicio 4

a) Sean $X_{1},...,X_{n}$ v.a. iid con distribución $N(\mu ,\sigma ^{2})$ ($\mu$ desconocido. Hallar el E.M.V. de $\mu$.

b) Plantear un test de hipótesis para $\mu$ de nivel $\alpha$:

$H_{0}$: $\mu =\mu _{0}$ $H_{1}$: $\mu >\mu _{0}$

c) Sea $\mu _{1}>\mu$. Calcular la probabilidad de no rechazar $H_{0}$ cuando el valor es $\mu _{1}$.

d) ¿A qué tiene la probabilidad calculada en c) cuando $\mu _{1}$ tiende a +infinito?