Final 28/07/2015 (Álgebra I)

(3 horas)

Ejercicio 1

Sea $\Re$ la relación en $A:=\{10,...,1000\}$ definida por $(n:m)\neq 1$.

1. Determinar si $\Re$ es reflexiva, simétrica, antisimétrica o transitiva.
2. Encuentre la cantidad de $m\in A$ tales que $m\Re 12$.

Ejercicio 2

Sea $a\in \mathbb {Z}$ tal que $(a^{182}-26:130)=13$. Calcular $(a^{25}-39:2\cdot 5^{3}\cdot 13^{2})$.

Ejercicio 3

Para cada $n\in \mathbb {N}$, encuentre el resto de dividir por $7$ a $n^{3n}$ en términos de una congruencia apropiada de $n$.

Ejercicio 4

Sea $f\in \mathbb {Q} [X]$ el polinomio $f=X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1$.

1. Pruebe que $f$ es irreducible en $\mathbb {Q} [X]$.
2. Para cada número natural $n$ calcule $(f:X^{n}-1)$.
3. Pruebe que si $p\in \mathbb {Q} [X]$ tiene como raíz a alguna raíz quinta primitiva de la unidad, entonces todas las raíces quintas primitivas de la unidad son raíces de $p$.