Final 04/03/2016 (Álgebra I)

El profesor fue Javier Etcheverry, el final fue de 9:00 a 13:00

Ejercicio 1

El número 9376 cumple la propiedad de que $9376^{2}=87909376$

¿Cuántos números de cuatro cifras o menos cumplen la propiedad de que $X^{2}\equiv X(10000)$?

¿Cuántos números cumplen la propiedad de que $X^{2}\equiv X(10^{n})$?

Ejercicio 2

Probar la identidad de Lagrange: $\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)-\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}$

Ejercicio 3

(a) Sea f polinomio de grado 5 en Q[x], con raices $1-{\sqrt {3}}$ y $2+{\sqrt {3}}$, probar que f tiene una raiz racional

(b) Hallar un polinomio g de grado 5 incluido en Q[x] tal que tenga $1-{\sqrt {3}}$ como raiz y no tenga raices racionales.

Ejercicio 4

Sea en $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ la relación

$aRb\leftrightarrow \exists n\in \mathbb {N} _{0}{\text{ tal que }}b=3^{n}a$

Decidir si es reflexiva, transitiva, simétrica o antisimétrica.