Final 28/02/2020 (Análisis II)

Ejercicio 1

Sea $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ de clase $C^{1}$ / f(t*P) = t*f(P) $\forall t\in \mathbb {R} y\forall P\in \mathbb {R} ^{2}$

a) Calcular f(0,0) b) Calcular las derivadas direccionales de f en (0,0) c) Probar que f es una transformación lineal

Ejercicio 2

Sea $f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ una función de clase $C^{2}$ / su polinomio de Taylor de grado 2 alrededor de q = (1,2,3) es $P(x,y,z)=x^{2}+y*z$

Notar que no esta descrito en potencias de (x-1),(y-2) y (z-3) como habitualmente se lo da

Si c(t) es la curva dada por c(t) = q + t*(a,b,c) y $g(t)=f(c(t))$, calcule g'(0) y g"(0) en términos de a,b,c.

Ejercicio 3

Sea $g:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ la función $g(x,y)=e^{(}(2x+y)(3x+2y)-1)$ y notemos por S la curva de nivel

S = {(x,y) \in <math> \mathbb{R}^2<\math> : g(x,y)=1}

a) Encontrar todos los puntos de P \in S para los cuales es posible despejar la variable y en función de la variable x alrededor de P b) Probar que la función f(x,y)= 2x+y no alcanza ni max ni min en S c) ¿Es S acotada?

Ejercicio 4

Sea D = [0,1]x[0,l]