Final 03/03/2017 (Probabilidad y Estadística)

Tomado por Matthieu Jonckheere. Se aprueba con un 4. Duró 4 horas. Se podían usar las tablas de distribuciones y el resumen de distribuciones disponibles en la página de la materia.

Ejercicio 1 (20 puntos)

Sea (X,Y) un vector aleatorio con función de densidad conjunta:

$f_{XY}(x,y)=k(x^{2}+y^{2})1_{\{20\leq x\leq 30,20\leq y\leq 30\}}$

1. ¿Cuál es el valor de $k$?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que tanto $X$ como $Y$ sean menores que $26$?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que $\max(X,Y)\leq 26$?
4. Hallar $f_{X}$ y $f_{Y}$, las funciones de densidad marginales.

Ejercicio 2 (30 puntos)

1. Sea $X$ una variable aleatoria con distribución exponencial de parámetro $\mu$. Calcular su función generadora de momentos.
2. Sea $N$ una variable aleatoria con distribución geométrica de parámetro $p$. Calcular su función generadora de momentos.
3. Sea $(X_{i})$ una secuencia de variables aleatorias con distribución exponencial de parámetro $\mu$ y $N$ una variable aleatoria con distribución geométrica de parámetro $p$ independiente de los $(X_{i})$. Sea $Z=\sum _{i=1}^{N}X_{i}$. Calcular la función generadora de momentos de $Z$.
4. Deducir de 3. la distribución de $Z$.

Ejercicio 3 (25 puntos)

Se supone que 1 de cada 10 fumadores prefiere la marca A. Después de una campaña publicitaria en cierta región de ventas, se entrevistó a 200 fumadores para determinar la efectividad de la campaña. El resultado de esta encuesta mostró que 26 personas preferían la marca A.

1. ¿Indican estos datos, a nivel aproximado 0.05, un aumento en la preferencia por la marca A?
2. Calcular el p-valor.
3. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de decidir que la campaña publicitaria no fue efectiva, cuando en realidad la proporción de preferencia por la marca A después de la campaña es 0.15?
4. ¿Qué tamaño de muestra debería tomarse para que la probabilidad de 3. fuese a lo sumo 0.05?

Ejercicio 4 (25 puntos)

Sea $X_{1},...,X_{n}$ una muestra aleatoria de una distribución $U[0,\theta ]$.

1. Probar que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \max_{1≤i≤n} X_i} es el estimador de máxima verosimilitud de $\theta$.
2. Calcular el estimador de $\theta$ basado en el primer momento.
3. Decir si los estimadores obtenidos son insesgados o asintóticamente insesgados, y consistentes. Justificar

Bonus (15 puntos)

Dar la definición de un proceso de Markov (en un espacio discreto) reversible.